最小値の求めかた

質問

1辺の長さ6の立方体ABCD(Aは左下、Bは右下、Cは右上）-EFGH（Eは左下、Fは右下、Gは右上）がある。
点Pは辺BC上の点、点QはEQ＝2となる辺EF上の点である。

(1)
点Rを平面AEGC上にとるとき、FR＋RPの長さの最小値の求めかたが分からないので教えてください。

例えば、ACを対称軸にするとｐ’はDAの中点までは考えたのですがわかりません。

Rもどこにおけばいいのか分かりません。

回答No.18

debut · ベストアンサー

では、
　問。座標平面上に原点Ｏ(０,０)、Ａ(８,０)、Ｂ(８,４)、Ｃ(０,４)
　　　があり、線分ＡＢの中点をＭとする。線分ＯＡ上に点Ｎをとり、
　　　ＣＮ＋ＮＭの長さが最も小さくなるようにするとき、その長さを
　　　求めなさい。
　　　（図）　　｜
　　　　　　　Ｃ・　　　　　　　　　　　　　・Ｂ
　　　　　　　　｜
　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　 　・Ｍ
　　　　　　　　｜
　　　　　―　Ｏ・――――Ｎ・　―― ・Ａ
　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　では、がんばってください。

　答え　10

お礼

M'=(8,-2)とすると
CM'=√{(CB)＾2＋(BM')＾2}

CB=８
BM'＝6
CM'=√{(8)＾2＋(6)＾2}
　=√100
=10
になりました。
やっと自力で解けるようになりました。
本当にありがとうございます。

回答No.19

debut

＞やっと自力で解けるようになりました。
　　おっ、やりましたね。この考え方をずっと忘れないでいてください。

　質問に答えてくださった、freedom560 さんも wps_2005 さんもきっと
　喜んでくださっているかと思います。よかった。

お礼

みなさん、長い間どうもありがとうございました。
今後もよろしくお願いします。

回答No.17

debut

＞直線OQ＋QP'を考えて
＞三角形三平方を考えました。
　　そう。その通りなのですが、Ｐ' はどこにありますか？

　　これは、ＡＢについて、点Ｐと線対称な位置です。
　　座標でいうと、Ｐが(１,４)でＢが(２,４)ですから、Ｐ' は(３,４)
　　になります。図で確認してください。

　　すると、Ｐ' からＯＡの延長に垂線Ｐ' Ｈを引くことで、直角三角形
　　ＯＰ' Ｈができて、底辺ＯＨ＝３，高さＰ' Ｈ＝４から　三平方で
　　ＯＰ' ＝√(３^2＋４^2)＝５　となります。

＜＜最大のポイントは　＞＞
　　「折れ線ＯＱ＋ＱＰの最小値は、ＰをＰ' に移動して、一直線ＯＰ'
　　　の長さで考える　　そして、Ｐ→Ｐ' の移動は線対称移動」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ということです。

　もう一度、よく考えてみてください。
　「あー、そうか」と納得できることを、願ってやみません。
　がんばって。

お礼

OQの長さばかり考えてました。
悩んでいたのがすっきしました。
もし迷惑でありませんでしたら
もう一問問題を作って頂けたら嬉しいです。

回答No.16

debut

いつでもよろしいですから、確認の意味で、つぎの問題を考えてみて
ください。（別にやらなくてもいいですが）

問。座標平面上に原点Ｏ(0,0)、Ａ(2,0)、Ｂ(2,4)、Ｃ(0,4)を頂点とする
　　長方形ＯＡＢＣがある。線分ＢＣの中点をＰとし、線分ＡＢ上に点Ｑ
　　をとる。ＯＱ＋ＱＰが最小になるときのその長さを求めなさい。
　　（図）　｜
　　　　　Ｃ・――・Ｐ――・Ｂ
　　　　　　｜　　　　　　　｜
　　　　　　｜　　　　　　 　・Ｑ
　　　　　　｜　　　　　　　｜
　　　　　　｜　　　　　　　｜
　　　　　　｜　　　　　　　｜
　　――Ｏ・―――――・Ａ―――
　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　答えは５になります

ポイントは
　・最短距離は直線である
　・↑を実現させるために、点をうまく動かす（この問題ならＰ）
　・三平方の定理

回答No.15

freedom560

boku115さん
＞例えばP'がDC上ではなく、DA上でも90度になるということですね。（B以外は）
そうです。
地面に木の棒を立ててみてください。
その木の棒をどの方向から見ても⊥という形をしていますよね？（横棒が地面で棒が木の棒）つまり、どの点をとっても９０°です。

もし座標の取り方について考えたいのならば、空間座標はちょっと難しいので、まずは１辺が６の正方形を座標平面であらわすときはどうあらわしたいかを考えてみてください。

全くわからなかった問題がわかったのですから、本当にすばらしいことだと思います。これからもがんばってください。

回答No.14

freedom560

すみません。

＞ひねくれた人はＡ（１００，１００，１００）、Ｂ（１０６，１００，１００）、Ｃ（１０６，１０６，１００）、Ｄ（１００，１０６，１００）にとる人もいるかもしれません。

と書きましたが、ＡＢＣＤがｘｙ平面上にあるときは
（１００，１００，０）、Ｂ（１０６，１００，０）、Ｃ（１０６，１０６，０）、Ｄ（１００，１０６，０）
です。訂正してください。

お礼

やっと分かりました。
ありがとうございます。
ＦＰ’＝√（ＦＢ^2＋ＢＰ’^2）
=√{（3√5)＾2＋6＾2}
=√81
=9になりました。
freedom560さんや他の皆さんのおかげで解くことが出来ましたありがとうございます。

＞つまり、ＦＢは平面ＡＢＣＤ上にある（Ｂを除いた）どの点をとっても（仮にその点をＺとします）∠ＦＢＺ＝９０°になります
このことは知りませんでした。
今日改めてとても参考になりました。
ありがとうございます。
例えばP'がDC上ではなく、DA上でも90度になるということですね。（B以外は）

長い間、迷惑をおかけしてごめんなさい。
ありがとうございます。
(x,y,z)に関しては参考書を見たのですがｚは空間の図形で現れるぐらいしか書いてなくて図形から座標をどうやって決めるのかがわからなくて、迷惑をかかるような質問をしてごめんなさい。

大変、参考になりました。
今後もよろしくお願いします。

回答No.13

freedom560

＞∠ＦＢＰ’＝９０は仮にとして考えるのでしょうか？
仮にというか、立方体ABCD-EFGHを考えているので当然そうなります。
図を描いたときに、ＦＢはＡＢやＣＢと垂直ですよね？（立方体だから当然です）
つまり、ＦＢは平面ＡＢＣＤ上にある（Ｂを除いた）どの点をとっても（仮にその点をＺとします）∠ＦＢＺ＝９０°になります。

＞P'B=√((3＾2)＋(6＾2))=３√５
ここまでは正解です。

＞6＋3√5
これは違います。
先ほど書きましたが、
＞ＦＰ’＝√（ＦＢ^2＋ＢＰ’^2）
であり、ＦＰ’＝ＦＢ＋ＢＰではありません。

＞(x,y,z)と考えていいんですよね？
よいです。

＞・点BはAと比較するとｘ軸が＋6(6,0,0)
＞・点CはAと比較するとx軸＋6,y軸＋6(6,6,0)
＞と考えていいのですか？
一応空間に見えますが、とりあえずはｚ軸は考えずにｘｙ平面だけで考えてください。重要なのは「ｘｙ平面上に１辺の長さが６の正方形を書くこと」です。

もちろん、座標空間の取り方は人それぞれなので、「Aは左下、Bは右下、Cは右上」の条件から
Ａ（－６，－６，０）、Ｂ（０，－６，０）、Ｃ（０，０，０）、Ｄ（－６，０，０）にとる人もいるでしょう。

私は頂点を原点に置くのが好みですが、もしかしたら正方形の中心を原点におきたい人がいるかもしれません。その人はＡ（－３，－３，０）、Ｂ（３，－３，０）、Ｃ（３，３，０）、Ｄ（－３，３，０）とおきます。

ひねくれた人はＡ（１００，１００，１００）、Ｂ（１０６，１００，１００）、Ｃ（１０６，１０６，１００）、Ｄ（１００，１０６，１００）にとる人もいるかもしれません。

もっとひねくれた人はＡ（０，０，０）、Ｂ（３√２，３√２，０）、Ｃ（０，６√２，０）、Ｄ（－３√２，３√２，０）とちょっと斜めに置くかもしれません。

しかし、どの取り方でとっても「ｘｙ平面上に１辺の長さが６の正方形を書いた」ことに変わりはないことを理解してください。

＞・点E,F,G,Hはｚの部分が6がよくわかりません。
私は平面ＡＢＣＤよりも平面ＥＦＧＨを上に持ってきているのでそうなりますが、平面ＥＦＧＨを下に持っていきたい場合は
Ｅ（０，０，－６）、Ｆ（６，０，－６）、Ｇ（６，６，－６）、Ｈ（０，６，－６）
になります。
「なぜ４や５じゃなくて６なのか？」といった疑問でしたら、それは問題が「1辺の長さ6の立方体」だから１辺の長さの６を取りました。

とにもかくにも、まずはあなただったらこの立方体を空間座標に取るときどう置きたいかを示してください。このとき、座標の置き方が全くわからないのならば、それはまずは教科書を読むべきことではないでしょうか。

回答No.12

freedom560

∠ＦＢＰ’＝９０°の直角三角形ＦＢＰ’を考えればＦＰ’の長さはわかります。つまり、ＦＰ’＝√（ＦＢ^2＋ＢＰ’^2）よりわかります。

一辺が６の立方体の問題なので、ＦＢ＝６であることは当然だと思います。ＢＰ’はＢＣ＝６、ＣＰ’＝３、∠ＢＣＰ’＝９０°の直角三角形ＢＣＰ’より求めましょう。

No.4で説明した方法で考えた場合は
Ｆ（６，０，６）、Ｐ’（３，６，０）となっているので、
ＦＰ’＝√｛（６－３）^2＋（０－６）^2＋（６－０）^2｝＝√８１＝９

として求めることができます。

補足

どうもありがとうございます。

∠ＦＢＰ’＝９０は仮にとして考えるのでしょうか？

P'B=√((3＾2)＋(6＾2))
=３√５

6＋3√5
になってしまいました。

＞点Ａを原点とする３次元空間を考え、
Ａ（０，０，０）、Ｂ（６，０，０）、Ｃ（６，６，０）、Ｄ（０，６，０）、Ｅ（０，０，６）、Ｆ（６，０，６）、Ｇ（６，６，６）、Ｈ（０，６，６）とおきます。

を聞きたいのですが
(x,y,z)と考えていいんですよね？
・点BはAと比較するとｘ軸が＋6(6,0,0)
・点CはAと比較するとx軸＋6,y軸＋6(6,6,0)
と考えていいのですか？
・点E,F,G,Hはｚの部分が6がよくわかりません。

もう一度考えて見ます。

回答No.11

freedom560

＞1辺が6cm,EQ=2も生かして求めるんですよね？
１辺が６ｃｍはこの問題で使いますが、ＥＱ＝２は使わなくても解けるはずです。

(1)の問題しか載っていませんが、(2)か(3)かでＱを使った問題が出てくるんじゃないですか？

補足

参考書によると
FQ＾2を求めるって書いてあったので。
使わないのですね。
もう少し考えてみます。

答えは9らしいのですが、なかなか合わなくて。
頑張ってみます。
ありがとうございます。

回答No.10

freedom560

＞ずっとAECGの平面の中にＲを置くと思ってました。
＞空間は考えていませんでした。
ここの文章を読んでboku115さんがどんな考えを持っておられるのかがよくわからなかったのですが・・

問題の「Ｒ」が何を意味しているかを一度整理してみます。

「点Rを平面AEGC上にとるとき、FR＋RPの長さの最小値の求めよ」
という問題のうち、
「点Rを平面AEGC上にとるとき」までの文章では点Ｒは平面ＡＥＧＣ上にあることがわかるので、
　　　　　　Ａ―――――――Ｃ
　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　　　　　　｜　Ｒ・←‐　　　　　｜
　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　　　　　　Ｅ―――――――Ｇ
にあっても、
　　　　　　Ａ―――――――Ｃ
　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　　　　　　｜　　　　　　Ｒ・←‐｜
　　　　　　Ｅ―――――――Ｇ
にあってもかまわないのです。
ただし、次の文章「FR＋RPの長さの最小値の求めよ」の命題に当てはまる点Ｒは
　　　　　　Ａ―――――――Ｃ
　　　　　　｜　　　　　　Ｒ・←‐｜　　　　　　
　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜　　　　　　
　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜　　　　　　
　　　　　　Ｅ―――――――Ｇ
ここ限定になります。

つまり、皆さんは「平面AEGC上にある点Rは無数にあるんだけど、その中でもFR＋RPの長さの最小値となるときの点Ｒの場所」を説明されています。

この辺りは理解されていますか？？

お礼

CFが怪しそうですよね？
CFは三平方の定理より６√2

補足

はい。理解できました。
Rはどこでもいいんですね。
でも、FR＋RPの長さの最小値を求める問題なのでそれに当てはまるRを皆さんが教えてくれたんですね。
ありがとうございます。

とても丁寧な図形。分かり易いです。
P'R＋RFを求めればいいんですね。
ありがとうございます。

1辺が6cm,EQ=2も生かして求めるんですよね？

回答No.9

debut

＞最小値はP'R＋RFの長さを求めればいいんですね。？

　　はい、そういうことです。Ｐ' Ｒ＋ＲＦは一直線Ｐ' Ｆのことになるの
　で、直角三角形を見つけつつ、三平方の定理を使って求めてください。

補足

ありがとうございます
頑張ってP'Fを求めたいと思います