最小値の求めかた

質問

1辺の長さ6の立方体ABCD(Aは左下、Bは右下、Cは右上）-EFGH（Eは左下、Fは右下、Gは右上）がある。
点Pは辺BC上の点、点QはEQ＝2となる辺EF上の点である。

(1)
点Rを平面AEGC上にとるとき、FR＋RPの長さの最小値の求めかたが分からないので教えてください。

例えば、ACを対称軸にするとｐ’はDAの中点までは考えたのですがわかりません。

Rもどこにおけばいいのか分かりません。

回答No.18

debut · ベストアンサー

では、
　問。座標平面上に原点Ｏ(０,０)、Ａ(８,０)、Ｂ(８,４)、Ｃ(０,４)
　　　があり、線分ＡＢの中点をＭとする。線分ＯＡ上に点Ｎをとり、
　　　ＣＮ＋ＮＭの長さが最も小さくなるようにするとき、その長さを
　　　求めなさい。
　　　（図）　　｜
　　　　　　　Ｃ・　　　　　　　　　　　　　・Ｂ
　　　　　　　　｜
　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　 　・Ｍ
　　　　　　　　｜
　　　　　―　Ｏ・――――Ｎ・　―― ・Ａ
　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　では、がんばってください。

　答え　10

お礼

M'=(8,-2)とすると
CM'=√{(CB)＾2＋(BM')＾2}

CB=８
BM'＝6
CM'=√{(8)＾2＋(6)＾2}
　=√100
=10
になりました。
やっと自力で解けるようになりました。
本当にありがとうございます。

回答No.8

debut

＞ACとＰ’Ｆの交点をＲとしていいのでしょうか？

　　　ＡＣ　とＰ' Ｆは交わりません。Ｒは線分ＡＣ　のちょっと下あたり
　　　です。
　　☆ＡＥＧＣ　面だけとりだすと、
　　　　　　Ａ―――――――Ｃ
　　　　　　｜　　　　　　Ｒ・←‐｜このあたりです。
　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　　　　　　Ｅ―――――――Ｇ

＞Ｒ’はEGとＰ’Ｆの交点と考えていいのですか？

　　　Ｒ' はどこに出てくるのですか。問題の中に出てくるのですか？

補足

ありがとうございす。
Ｒは立方体をACを境に切ってＰ’Ｆを繋げたら調度
debutさんの言っているようなＲの位置を見つけることができました。

ずっとAECGの平面の中にＲを置くと思ってました。
空間は考えていませんでした。

最小値はP'R＋RFの長さを求めればいいんですね。？

回答No.7

freedom560

＞p'とFを繋ぐと、平面のAEGCの点Ｆ上に交わります（点Rは）。
点Ｆは平面のAEGC上にはありません。

p'とFをつないで平面のAEGCとの交点を求めたとき、その点が点Ｒです。

＞Ｒ’はＨですか？
Ｒ’がどこから出てきたのかがわかりません。

平面の式と直線の式は参考ＵＲＬを参照してほしかったのですが・・

平面の式は
ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄにＡ（０，０，０）、Ｃ（６，６，０）、Ｅ（０，０，６）を代入して求めてください。

直線の式は
Ｆ（６，０，６）、Ｐ’（３，６，０）の２点を通るので、
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（６，０，６）＋ｔ（６－３，０－６，６－０）　とあらわせるので、この式からｔを消してください。

お礼

ごめんなさい
URlもう一度見て見ます。
どうもありがとうございます。

回答No.6

debut

製図の問題ではないので、あまりＲの位置にこだわらなくてもいいです。
ほんとに、おおまかでいいのです。
図らしきものをかいてみますんで、参考にしてください。

　　　　　　　Ｈ――――――Ｇ
　　　　　　／｜　　　　　 　　／｜
　　　　　Ｄ―｜Ｐ'・ ――Ｃ　　｜
　　　　　｜　｜　　　Ｒ・　｜　 ｜
　　　　　｜　／￣￣￣　Ｐ・￣／Ｆ
　　　　　｜／　　　　　　　｜／
　　　　Ａ￣￣￣￣￣￣￣Ｂ

Ｆ，Ｒ，Ｐ' は一直線上であり、Ｒは斜め45°の平面ＡＥＧＣ上で、位置的
には宙に浮いた状態です。
（Ａ，Ｅ，Ｇ，Ｃを線で結び、できた四角形を鉛筆で薄く塗り、直線ＦＰ'
　とぶつかっている部分をＲとしてみてもいいでしょう）

補足

Ｄ――――――C
　　　　　　／｜　　　　　P／｜
　　　　　 A―｜─―― B　｜
　　　　　｜　｜　　　 　｜　｜
　　　　　｜　H ￣￣￣　￣ ￣ G
　　　　　｜／　　　　　 ｜／
　　　　E ￣￣Q ￣￣￣￣F

の図形のときACとＰ’Ｆの交点をＲとしていいのでしょうか？
Ｒ’はEGとＰ’Ｆの交点と考えていいのですか？

回答No.5

wps_2005

#2です。
質問者にはスルーされているようなので無意味かもしれませんが(笑)、読み返したら自分の回答が紛らわしかったので、追記します。(他に読んでいる方もいらっしゃるかもしれませんので)

>とのことですが、Rをどこにおけばいいか（＝どこにおけばFR+RPの長さが最小になるのか）を求めることこそがこの問題の意図するところです。

と書きましたが、「Rをどこにおけばいいかを求める」といっても、座標を求めることは意味してません。#4で説明されているとおり、正確な位置(座標)は必要ありませんね。「Rがどういうところにあれば、FR+RPの長さが最小になるのだろう」ということを考えることがポイントで、ご自分でわかったとおっしゃっている、
・点Pと平面AEGCに関して対称な点をP'とする。
・点P'と点Fを結び平面AEGCと交わる点をR。
というのが答えですね。
試験で点を取るためには、なぜこの点でいいのかを本当に理解して、それを採点者にわかるように記述することが必要ですが。

補足

先ほどスルーをしてしまってごめんなさい。
ちゃんと、参考にさせていただいています。

回答No.4

freedom560

＞私が分かる範囲のRは
＞・点Pと平面AEGCに関して対称な点をP'とする。
＞・点P'と点Fを結び平面AEGCと交わる点をR。
＞ここまでは分かりました。
＞
＞しかし、
＞Rをどこらへ辺に置くのか良くわかりません。

「点P'と点Fを結び平面AEGCと交わる点をR」と書かれているのだから、この「点P'と点Fを結び平面AEGCと交わる点」がＲだと思うのですが・・

つまり、この問題は点Ｒの正確な位置を求めなくてもNo.1さんが書かれておられる方法を用いれば解ける問題なのですが、あえて点Ｒの位置を求めてみましょう。

点Ａを原点とする３次元空間を考え、
Ａ（０，０，０）、Ｂ（６，０，０）、Ｃ（６，６，０）、Ｄ（０，６，０）、Ｅ（０，０，６）、Ｆ（６，０，６）、Ｇ（６，６，６）、Ｈ（０，６，６）とおきます。

題意よりＰ（６，３，０）、Ｑ（２，０，６）であり、また今までに話題に上がっている点Ｐ’は（３，６，０）になります。

ここで、平面ＡＥＧＣの式は
ｘ－ｙ＝０（０≦ｘ≦６、０≦ｙ≦６、０≦ｚ≦６）
であり、
直線ＦＰ’の式は
（ｘ－６）／３＝－ｙ／６＝（ｚ－６）／６となります。
（この式の求め方は参考ＵＲＬを参照してください）

よって、この２つを解いてＲ（４，４，２）ということがわかります。

先ほど書きましたが、この問題ではこの点を求めなくても正解が出せるので、かなり蛇足ですが・・

参考URL：

http://amath.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2005.calculus-II/html.dir/node5.html

お礼

p'とFを繋ぐと、平面のAEGCの点Ｆ上に交わります（点Rは）。
Ｒ’はＨですか？

補足

説明どうもありがとうございます。
＞題意よりＰ（６，３，０）、Ｑ（２，０，６）であり、また今までに話題に上がっている点Ｐ’は（３，６，０）になります。

ここで、平面ＡＥＧＣの式は
ｘ－ｙ＝０（０≦ｘ≦６、０≦ｙ≦６、０≦ｚ≦６）
であり、
直線ＦＰ’の式は
（ｘ－６）／３＝－ｙ／６＝（ｚ－６）／６

がどうやって出たのか分かりません。

回答No.3

debut

Ｒの場所
　・まず、点ＰとＡＣについて対称な点ｐ' をＣＤの中点にとる。

　・次に、Ｆと点ｐ' を直線で結ぶ。

　・その直線Ｆｐ' は、斜めの面ＡＥＧＣと交わるのだけれど、その交点が
　　Ｒになります。（空間にあるから、図ではだいたいこのあたりで交わって
　　いると思われる所に点Ｒを打ってみてください)

で、結局「ＦＲ＋ＲＰと折れ曲がった部分の最短距離を求めること」は、
「Ｆｐ'という直線部分の長さを求めること」にかえられます。

補足

何度も質問して本当にすいません。
Rが分かりません。

私が分かる範囲のRは
・点Pと平面AEGCに関して対称な点をP'とする。
・点P'と点Fを結び平面AEGCと交わる点をR。
ここまでは分かりました。

しかし、
Rをどこらへ辺に置くのか良くわかりません。

回答No.2

wps_2005

解答へのヒントは#1の方が書かれているようなので、それ以前の「問題の読み方」について。

> 点Rは平面ARCG上だったらどこに置いてもいいのですか？

「FR＋RPの長さの最小値」を求めるのが問題であるのなら、FR＋RPが最小となるような場所に点Rを置くことが条件です。

問題を言い換えると(表現がしつこくなりますが)、「平面AEGC上の点の中で、FR+RPの長さが最小となるような点を点Rとするとき、FR+RPの長さの値を求めよ」となります。

> Rもどこにおけばいいのか分かりません。

とのことですが、Rをどこにおけばいいか（＝どこにおけばFR+RPの長さが最小になるのか）を求めることこそがこの問題の意図するところです。

問題の意味はわかりました?

回答No.1

debut

問題に書いてないんですが、ＰはＢＣ の中点なのですか？
（でないと、非常に簡単になってしまうし・・）
そのように考えれば、ＡＣ を対称軸とすると、ｐ’はＤＡではなくて、
Ｃ Ｄの中点になります。(ＡＣ を軸として折りたたんだらＰはどこに
いくか、考えてみてください）
すると、ＦＲ＋ＲＰの最小値はＦｐ’の長さになり、点ＲはそのＦｐ’と
面ＡＥＧＣ との交点になります。
これは、
・点と点の最短距離は直線であること
・ＲＰ＝Ｒｐ’だから、ＦＲ＋ＲＰ＝ＦＲ＋Ｒｐ’＝Ｆｐ’とできること
を利用しています。

後は、Ｆｐ’を三平方の定理（△ＧＣ ｐ’で、続いて△ＧＦｐ’で）より
求めます。

補足

すいません。
点Pが辺BCの中点になるときです。
本当にごめんなさい

点Rは平面ARCG上だったらどこに置いてもいいのですか？