余弦定理の証明

質問

こんにちは。

第一余弦定理の証明でつまずいて困っています。
それは正弦定理から第一余弦定理を導くというもので

『加比の理を用いて

a/sinA＝b/sinB＝c/sinC
＝(bcosC+ccosB)/(sinBcosC+cosBsinC)・・・(1)
＝(bcosC+ccosB)/sinA・・・・・・・・・・・(2)
∴a＝bcosC+ccosB』

というものです。
この証明で(1)、(2)の部分がなぜそうなるのか分かりません。

加比の理は

a/b＝c/d＝e/fの時
a/b＝c/d＝e/f＝(a+c+e)/(b+d+f)
というものだと思うのですがどこでこれを使ったのかも分かりません。

上の証明はHPで見つけたもので
問題の箇所は
以下HPの真ん中辺です。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/trigonometry/sinecosine.htm

よろしくお願い致します。

回答No.1

postro · ベストアンサー

c/d＝e/fの時
c/d＝e/f＝(c+e)/(d+f)

bcosC/sinBcosC＝ccosB/cosBsinC
に加比の理を使って
a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝bcosC/sinBcosC＝ccosB/cosBsinC＝(bcosC+ccosB)/(sinBcosC+cosBsinC)・・・(1)
としているようですね
また、次は
sinA=sin(180-(B+C))=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
をつかっているのかも

お礼

なるほど～。
どうもありがとうございました。
大変よく分かりました。
こんなに早く解決するなんて聞いてみて良かったです。どうもありがとうございました。

回答No.2

debut

b/sinBにcosC/cosCをかけ、c/sinCにcosB/cosBをかけると、

bcosC/sinBcosC=ccosB/cosBsinC　で加比の理をつかって
=(bcosC+ccosB)/(sinBcosC+cosBsinC)・・・(1)

加法定理から、sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinCなので
(1)式の分母は =sin(B+C)=sin(180°-A)=sinA　ということで、(2)の
式が導かれます。

お礼

大変詳しいご説明どうもありがとうございます。
よく分かりました。
ずっと考えてたんですが気付きませんでした。
聞いて良かったです。
ありがとうございました。