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正弦定理と余弦定理で答が違う?

三角形の残りの角と辺の長さを求めよという問題で、余弦定理を用いると答が一つなのに、正弦定理も用いて解くと答が二つになってしまうことがあります。 例えば、 a=2,b=√6,c=-1+√3 で、最初に余弦定理からA=45°と出し、その後、正弦定理からB=60°、120°となるのですが、余弦定理だとB=120°となります。だけれど、問題の答はA=45°,B=120°,C=15°です。 どうすれば良いんでしょう? テスト近いので少し焦ってます。よろしくお願いします。

noname#91379
noname#91379

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  • 回答No.4
  • carvelo
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>一つに決まるのなら、値を二つ出してしまう正弦定理ってあまりいい定理じゃありませんよね。なぜそんな定理が認められるのでしょうか? 確かに、(三角形の)角度のみに関心がある場合には余弦定理の方が解が一つに決まるので正弦定理より優れていると言えなくも無いですが、正弦定理で複数解が出てくることに関しては、前の方がおっしゃっているように、図的な考察から対処できますし、正弦定理の式には余弦定理に出てこない外接円の半径が含まれていますね。正弦定理は外接円の半径と三角形の角・辺の長さを結びつける、という意味で重要な式なわけです。 このような(外接円の関係しない)問題で正弦定理を用いる場合の最大の利点は、二乗の計算をしなくても答えが出せる、ということです。辺の長さに根号が含まれているときは、二乗の計算をしないと鈍角か鋭角かの判断が難しいかもしれませんが、それでも余弦定理を用いるよりも計算量は少なくて済むことが多いのです。 あと、これはちょっと受験テクニック的な話ですが、センター試験の様な形式のマーク試験の場合、例えば正弦定理から60度と120度の2つの答えがでてきた場合はマークの形(2桁か3桁か)からどちらが答えか判断できてしまいまうので、余弦定理を使うよりもだいぶ短い時間で解答できます。

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  • 回答No.3

正弦定理からsinθの値が出るが、0<θ<πであるから、sinθの値が正であっても、θの値は2つ出てきてもおかしくない。 ところが、余弦定理はcosθの値を扱うから、0<θ<π/2の時はcosθ>0であり、π/2<θ<πの時はcosθ<0であるからθの値が2つ出ることはない。 では、どうするか? この問題に限れば簡単である。 何故なら、初めから3辺の長さがわかっており、しかも、b^2>a^2+c^2が成立するから、∠Bが鈍角の鈍角三角形である事はすぐわかる。 次の問題を正弦定理と余弦定理を別々に使って解いてみたら面白い。 △ABCにおいて、AB=3、BC=2、∠C=2∠Bの時、ACの長さを求めよ。

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noname#96418
noname#96418

角度θが0度と180度の間の場合、あるcosθの値を与えるθの値はひとつだけですが、あるsinθの値を与えるθの値は二つありますね(90度以外の場合)。ですから、余弦定理と正弦定理のどちらも簡単に使える場合には、余弦定理を使った方がよいと思います。(正弦定理で求めた二つの角度を余弦定理で選り分けるのは二度手間です。) 角度θの範囲が0度と90度の間、あるいは90度と180度の間であることがわかっている場合には、どちらを使ってもよいでしょう。

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質問者からの補足

ご回答、ありがとうございます。 すると、このような問題では三角形の形は常に一つだけに決まるのでしょうか? 一つに決まるのなら、値を二つ出してしまう正弦定理ってあまりいい定理じゃありませんよね。なぜそんな定理が認められるのでしょうか? 重ね重ねお願いします。

  • 回答No.1

正弦定理から、B=π/3、2π/3とでても、π/3のときに余弦定理が成立しないなら、それを解答の候補からはずすだけでは? 正弦定理では角Cとcは考慮に入れてないので、答えが二つ出てきただけです。

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