ロピタルの定理の証明

質問

コーシーの平均値の定理[{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}]=f'(c)/g'(c)のbにxを代入して、f(a)=g(a)=0より、{f(x)/g(x)}=f'(c)/g'(c) (a<c<x またはx<c<a)
x→aの時、はさみうちの原理よりc→aとなり、lim_(x→a)f(x)/g(x)= lim_(x→a)f'(c)/g'(c)=lim_(c→a)f'(c)/g'(c)
そしてこの右辺のcをxに置き換えると、lim_(x→a)f(x)/g(x)=lim_(x→a)f'(x)/g'(x)が成り立つ。

質問ですが、最後のlim_(c→a)f'(c)/f(c)のcをxに置き換えてもなぜ式が成り立つのかが分かりません。
もしそうなら、f(x)/g(x)=f'(c)/g'(c) の時点で、f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x)とcをxに変えて、あとはlim_(x→a)f(x)/g(x)=lim_(x→a)f'(x)/g'(x)とすればいいのではないのかと思ったのですが。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

f(x)/g(x)=f'(c)/g'(c) の時点では c は x と異なる値を取るから, そこで「cをxに変え」てはいけない.

lim_(x→a)f(x)/g(x)= lim_(x→a)f'(c)/g'(c)=lim_(c→a)f'(c)/g'(c) のところでは既に c は表舞台から去っているので c の代わりに任意の名前を使うことができる.

お礼

なるほど!!! そういう事だったんですね。

とても助かりましたm(_ _)m