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平均値の定理を使った証明問題

次の問題の証明を教えてください。 (a,b)で微分可能のとき次の関係を満たすcが存在することを証明する問題です 1.(c-a)(b-c)f'(c)=(2c-a-b)f(c) 2.f(b)-f(a)=cf'(c)(logb-loga) 解法がまったく思いつきません。 ヒントでも良いのでよろしくお願いします。

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  • ベストアンサー
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.3

すみません, #1 は勘違いしてます. 2 はそれでもいいんだけど. というわけで落ち穂拾い: 1: f(x)(x-a)(x-b). 2: f(x) と g(x) = log x に対して平均値の定理 ∃c [f(a) - f(b)]/[g(a) - g(b)] = f'(c)/g'(c) という方針もある.

biwabiwa13
質問者

お礼

うまくいきました。 ご回答ありがとうございました。

その他の回答 (2)

回答No.2

1はちょっと考えてみたのですが、自分も思いつかないですね。 2はf(x)が(a,b)で微分可能であるので、g(x)=f(e^x)は(log a, log b)で微分可能である。 ([a,b]で連続というのは仮定していいんですよね?) g'(x) = e^x f(e^x) よって、平均値の定理より、.... で解けます。

biwabiwa13
質問者

お礼

ご回答ありがとうございました。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

どちらも「平均値の定理」そのまま, ですな. 「平均値の定理」で何が思い浮かぶかが問題だけど.

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