• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

定義から導関数を求める

定義1 I=(a,b) a<b f;I→R(実数),x0∈I に対してfはx0で微分可能 ⇔ ∃α∈R(実数):f(x)=f(x0)+α(x-x0)+o(x-x0) (x→x0) 定義2 fはI上で微分可能 ⇔ f'はIの任意の点で微分可能。このときf';I∈x0→f'(x)∈R(実数)なる函数が定まる。これを導関数と言う。 微分の定義に基づいて、次の導関数を求めよ。 f(x)=exp(ax) (a∈R\{0}) o(g(x))=f(x)⇔lim[x→x0]f(x)/g(x)を用いるのでしょうか?どんな風に解答すればいいのか分かりません。よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数119
  • ありがとう数0

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • leige
  • ベストアンサー率45% (11/24)

∃α∈R(実数):f(x)=f(x0)+α(x-x0)+o(x-x0) (x→x0) ⇔ lim[x→x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)=α であることを使ってx=x0での微分係数αを求めると 求められたαの式はx0∈R(実数)でなりたつので これより導関数f'(x)=α(x)が与えられます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 導関数って?

    問題に導関数を求めよという問題があります。 仮に f(x)=3x^2-2x-1 とします。 この際,微分してしまえば簡単にf(x)'=6x-2となりますよね。 でも,問題は導関数となっていますので,途中式を書くとなるとf(x)'=lim(h→0)=f(x+h)-f(x)/hの公式を用いた計算をしなければならないのですか?

  • 導関数の定義域について

    導関数の定義域について 例えば、すべての実数xで微分可能な関数f(x)において、x≧aとするとき、f'(x)の定義域はx≧aですか?それともx>aですか? 導関数の定義域はいつも開区間になっているような気がするんですが、その理由がいまいち理解していません。もとの関数では定義域に入っているが導関数では定義域に入っていないのは、導関数において分母を0にする数だから、絶対値記号の場合分けの分かれ目だから、という理由で合ってますか? もし合ってるとしたら、はじめに質問したf'(x)の定義域はx≧aとなりますよね? とても気になっています。 よろしくお願いします。

  • f:R^n→R^mの導関数の定義式は?

    n=m=1の時なら lim[h→0]|f(x+h)-f(x)|/|h| が導関数の定義ですがf:R^n→R^mの場合には導関数の定義式はどのように書けるのでしょうか? n Σ(lim[hi→0]|f(x1,x2,…,xi+hi,…,xn)-f(x1,x2,…,xn)|/|hi|) i=1 では間違いでしょうか?

  • 第3次導関数は,何を表していますか? 

    a,b,c,d を 0 でない実数として,y=f(x) を3次以上の多項式、例えば y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d のとき,上式を微分した導関数 y'=f'(x) は,曲線の接線の傾きを表し、更に微分した第2次導関数 y"=f"(x) は,曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、第3次導関数は,曲線の何を表していますか? 

  • 導関数f'(x)の定義

    「微分可能な関数f(x)がf'x=|e^x-1|を満たしf(1)=e のときf(x)を求めよ」 という問題があるのですが、このf'(x)の絶対値の場合分けの時に、解答には x>0 のときと x<0のときで分けられています(等号がない) これをx≧0 とx<0で分けてはいけないのはなぜですか? 「解答には導関数f'(x)はその定義からxを含む開区間で考える」とありますがそこがよく分かりません

  • 微分係数、導関数(数学II)

    f(x)=2の導関数は0です。 f(x)=yとすると、y=2はx軸に平行な直線となるので、傾きを表す導関数が0になるというのは肯けます。 しかし納得できない点があります、 f(x)=2の導関数を導関数の定義に従って求めると f´(x)=lim[h→0]2-2/h=0―(1) となります。 また、f(x)=x^3の導関数は f´(x)=lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)―(2) =3x^2 となります。 (2)はhが0の時に3x^2になるということを示していますよね? じゃあ(1)はどうなるのでしょう。分母がhになっていますが・・・。 もしや私の考えていることは前提が間違っていて、(2)の場合、hが0に近づけば、f´(x)が3x^2に近づくといった方が正しいのでしょうか? でもそれならイコールで結ぶことはできないはずですよね。 「3x^2であること」(3x^2)と「3x^2に限りなく近いということ」(lim[h→0](3x^2+3xh+h^2))は別だと思うのです。 そして仮にそうだとしても(1)に納得する理由にはならない気もします。 hが0に近づくといいますが、0になってしまったら式が成り立たなくなってしまいますよね。 2-2/hという式は、hが0以外のときに成り立つと思うんです。 質問をまとめると、 その1 f(x)=2の導関数、つまり f´(x)=lim[h→0]2-2/h=0 ←この場合、hが0に近づくというのはどういうことなのでしょう? その2 f(x)=x^3の導関数、つまり lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)=3x^2←この両辺は等しいと言えるのでしょうか? 定義の理解も曖昧ですみません・・・。 よろしくお願いします!

  • 次の関数の導関数を定義から求めよ、という問題です

    次の関数の導関数を定義から求めよ、という問題がわかりません 問題(1)y=px+q(p、qは定数) y’=lim h→0  f(x+h)-f(x)/h で、fにpをいれてp(x+h)+q・・・・ 問題(2)y=3x^2-7  y’=lim h→0   どう代入していったらいいかわかりません。

  • 公式より導関数を求める

    lim h→0 f(a+h)-f(a)/h の公式より導関数を求めたいと思いますが 計算手順がわからないので、教えてください。宜しくお願いします。 普通に微分したほうが早いのですけど、式を定義にして解こうとすると分かりません。宜しくお願いします。 【問題】 y=1/ x^2 の導関数を求めよ。 

  • これは導関数の定義式であると聞きました。

    これは導関数の定義式であると聞きました。 いくつか質問があります。 1、導関数を求めることを微分するというのですか? 2、1の質問が真の場合ですが、この定義式は何ですか? 定義式のグラフ的な意味は分かります。

  • 数学 導関数 問題

    次の関数の導関数を定義から求めよ。 (1)f(x)=1/x f(x)=lim {f(x+h)ーf(x)}/h     h→0 よりf(x)=lim {(1/x+h)ー(1/x)}までは分かるのですが       h→0 その次に画像のような式になっているのですが、これは何をしたんでしょうか?