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編微分係数の問題について。

f(x,y)について、fxy(0,0)とfyx(0,0)を求め、これが等しくないことを示せ。 f(x,y) = xy(x^2-2y^2)/(x^2+y^2) (x,y) ≠ (0,0) = 0 (x,y) = (0,0) という問題があるのですが、解答によると、編微分係数の定義にしたがって(limを使う式)解いていくのですが、なぜfx(x^3だったら3x^2にするような)のように編微分の公式をそのまま使ってはまずいのでしょうか?

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その疑問点は、偏微分とは直接関係ありません。 一変数関数の場合で考えてみましょう。 例えば、g(x) = (sin x) / x (x≠0), g(x) = 1 (x=0) について g ' (0) を求めよ と言われたら、 g(x) = (sin x) / x のほうの式だけを 「微分の公式をそのまま使って」処理しても、 x≠0 の範囲でだけ g ' (x) を求めたことになり、 g ' (0) は得られません。 g ' (0) を求めるには、g(0) = 1 を考慮した計算 が必要になります。そこで、 微分係数の定義 g ' (a) = lim[x→a] { g(x) - g(a) } / (x - a) の登場となる訳です。

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