f(x,y)=x^2＋y^4の極値

質問

こんばんは！！
タイトルの通り、f(x,y)=x^2＋y^4の極値を求めたいのですが、よく分かりません。。
まず私の解答ですが、、

fx(x,y)=2x, fy(x,y)=4y^3で停留点を求めると、2x=0かつ4y^3=0より(x,y)=(0,0)が停留点である。
また、
fxx(x,y)=2, fxy(x,y)=0, fyy(x,y)=12y^2
であり、(x,y)=(0,0)のとき、
A=fxx(x,y)=2, B=fxy(x,y)=0, H=fyy(x,y)=0
である。
よって
AB-H^2=0

ここまではできたのですが、この先が分かりません。
参考書にはAB-H^2=0の場合が載っていないのです。。
上とは異なる解法でもいいので、もし分かる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願い致します！！

回答No.2

shibainumodoki · ベストアンサー

f(x,y)=x^2＋y^4 の停留点はfx(x,y)=2x, fy(x,y)=4y^3より(0,0)ですね。
ここで、(x,y)=(0,0)でヘッセ行列の行列式
　fxx・fyy-fxy・fyx=0 になって極値の判定ができないのが問題なのですね。

　ならば(fx(0,0),fy(0,0))=(0,0) のもとで(0,0)近傍の点でのf(x,y) の符号を調べてみればいいのでは？
f(x,y)は(0,0) 以外の点でf(x,y)>0ですね。
　よって、f(x,y)は(0,0)で停留点となり、(0,0)を除く任意の点でf(x,y)>0 なので、(x,y)=(0,0) は極小点といえるのではないでしょうか？

お礼

回答ありがとうございました！！
お礼が遅くなってしまいすみません。。
とてもよく分かり、大変助かりました。
本当にありがとうございました☆

回答No.3

shibainumodoki

＃２ですが、
１変数関数 y=f(x) の場合、f'(p)=0 なるx=p があるとき、x=p 近傍の任意のx=qで f(p) > f(q) ならf(x)はx=p で極大、f(p) < f(q) ならf(x)はx=p で極小でしたよね。それを２変数に拡張しただけです。

お礼

ありがとうございました^-^

回答No.1

adinat

一般に多変数関数はヘッシアンとか調べて極値問題を解きますけど、この問題はそこまでしなくても簡単にできます。

f(x,y)=x^2＋y^4はyをまずとめてxの関数と思えば、x=0で最小値y^4を取ります。また最大値は存在しません。そこでf(0,y)=y^4を考えますが、これはy=0で最小値0を取り、最大値は存在しません。以上のことからx=y=0で極小値0を取り、それ以外の点は極大でも極小でもありません。

直感的にいって、原点に近づくほど0に近づき、遠ざかるほど無限大に近づく関数です。

お礼

回答ありがとうございました！！
お礼が遅くなってしまいすみません。。
とても助かりました。
本当にありがとうございました☆