- ベストアンサー
f(x,y)=x^2＋y^4の極値
こんばんは！！ タイトルの通り、f(x,y)=x^2＋y^4の極値を求めたいのですが、よく分かりません。。 まず私の解答ですが、、 fx(x,y)=2x, fy(x,y)=4y^3で停留点を求めると、2x=0かつ4y^3=0より(x,y)=(0,0)が停留点である。 また、 fxx(x,y)=2, fxy(x,y)=0, fyy(x,y)=12y^2 であり、(x,y)=(0,0)のとき、 A=fxx(x,y)=2, B=fxy(x,y)=0, H=fyy(x,y)=0 である。 よって AB-H^2=0 ここまではできたのですが、この先が分かりません。 参考書にはAB-H^2=0の場合が載っていないのです。。 上とは異なる解法でもいいので、もし分かる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願い致します！！
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
f(x,y)=x^2＋y^4 の停留点はfx(x,y)=2x, fy(x,y)=4y^3より(0,0)ですね。 ここで、(x,y)=(0,0)でヘッセ行列の行列式 fxx・fyy-fxy・fyx=0 になって極値の判定ができないのが問題なのですね。 ならば(fx(0,0),fy(0,0))=(0,0) のもとで(0,0)近傍の点でのf(x,y) の符号を調べてみればいいのでは？ f(x,y)は(0,0) 以外の点でf(x,y)>0ですね。 よって、f(x,y)は(0,0)で停留点となり、(0,0)を除く任意の点でf(x,y)>0 なので、(x,y)=(0,0) は極小点といえるのではないでしょうか？
その他の回答 (2)
- shibainumodoki
- ベストアンサー率36% (7/19)
＃２ですが、 １変数関数 y=f(x) の場合、f'(p)=0 なるx=p があるとき、x=p 近傍の任意のx=qで f(p) > f(q) ならf(x)はx=p で極大、f(p) < f(q) ならf(x)はx=p で極小でしたよね。それを２変数に拡張しただけです。
お礼
ありがとうございました^-^
- adinat
- ベストアンサー率64% (269/414)
一般に多変数関数はヘッシアンとか調べて極値問題を解きますけど、この問題はそこまでしなくても簡単にできます。 f(x,y)=x^2＋y^4はyをまずとめてxの関数と思えば、x=0で最小値y^4を取ります。また最大値は存在しません。そこでf(0,y)=y^4を考えますが、これはy=0で最小値0を取り、最大値は存在しません。以上のことからx=y=0で極小値0を取り、それ以外の点は極大でも極小でもありません。 直感的にいって、原点に近づくほど0に近づき、遠ざかるほど無限大に近づく関数です。
お礼
回答ありがとうございました！！ お礼が遅くなってしまいすみません。。 とても助かりました。 本当にありがとうございました☆
関連するQ&A
- 極値、最大最小問題
f(x,y)=xy(x+y-1)について以下の問いに答えよ。 (1)x,yがx^2+y^2＜1を満たすとき、f(x,y)の極値を求めよ。 (2)x,yがx^2+y^2≦1を満たすとき、f(x,y)の最大値、最小値を求めよ。 この問題でf(x,y)=xy(x+y-1)を偏微分してfx(x,y)、fy(x,y)、fxx(x,y)、fyy(x,y)、fxy(x,y)を求めて、(1)の極値を求めるために(x,y)=(a,b)で極値を取ると仮定してfx(a,b)=fy(a,b)=0を解いて極値の候補出そうとしたんですが、よくわかりません。どうしたらいいですか？もし解ける人がいましたら、解答orアドバイスお願いします。 解けなくて困っているんで、解ける人いましたらお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2変数関数の極値の問題です。
2変数関数の極値の問題です。 次の極値の問題について議論せよ。 f(x,y)=x^4-y^4 という問題で、fx=fy=0を満たす(a,b)でfxx=A,fxy=B,fyy=Cとおいて、極値判定法を考えましたが、この場合、(a,b)=(0,0)だけとなり、B^2-AC=0となって極値の判定ができませんでした。 この場合、どのような方法で示せばよいのでしょうか。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 停留点
停留点を求めよとの問題があったのですが、 導き方は判別式？ fxx(a,b)fyy(a,b)-{fxy(ab)}^をつかって０より大きいか、小さいか、０かを調べる。そのあとfx=0,fy=0で停留点を求めればいいのですよね？それはいいのですが、 f(x,y) = (e^x)y この微分ってどうすればいいのでしょうか？なんかド忘れした感じがあるのですが・・・・・・ 自分はfx=(e^x)y,fy=x(e^x) となったのですが間違っていますか？ この程度のレベルの微分（特にf(x,y) = y(e^x)みたいな感じ）の問題があるページとかあったら載せてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求
f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください 特にfxxからまったく分からないので教えてください 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求
f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください fxxから本当に分からないので教えてください 回答よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ヘッシアンが０になった場合
ヘッシアンが０になった場合。 ヘッシアンが０になった場合について質問します。 この場合具体的にどうすればいいんでしょうか。 いろいろ調べましたが ３次近似をするとか、候補の点の近くを適当に動いてみて考えるとか もっと高次の場合を考えるとか。 いろいろな回答が出てきましたが、 コレッ ていう考え方がわかりません。 ただ自分の知識不足なんですがね。 例題を載せますので、よろしければ詳しく教えて下さい。 f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2の極値を求めよ fx=0 かつ fy=0 より 極値をとる点の候補を得る。（√２,-√２）,(-√２,√２),(0,0) ここでヘッシアンを用いる H(x,y)=fxx*fyy-(fxy)^2 点(0,0)について H(0,0)=0 ここからどうすればいいでしょうか。 あとの２点は計算した所極値をもちました。 よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 解き方がわかりません助けてください
２変数関数f(x,y)=ｘ^3-3x+3xy^2について。 （１）連立方程式fx(x,y)=fy(x,y)=0を解け。 (2)不等式fxx(x,y)fyy(x,y)-{fxy(x,y)}^2>0の表す領域を図示せよ。 （３）f(x,y)の極値を求めよ。 です。 まず(1)のfx(x,y)=fy(x,y)=0の段階からわかりませんfx(x,y)がどういう意味なのかが分かりません。 (2)は上と同じ要素でわからない＆計算方法がわかりません。 (3)は(2)が解けないと解けないですよね？こちらも求め方を教えてください。 基本的に何をどうすれば解へとたどり着けるのかが分かっていないので、できれば詳しく解法を教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 2変数関数について・・・？
2変数関数のz = f(x,y) = x^2 / (x^2 + y^2)の f(x,y),fx,fy,fxx,fxy,fyx,fyy、はどうなるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました！！ お礼が遅くなってしまいすみません。。 とてもよく分かり、大変助かりました。 本当にありがとうございました☆