- ベストアンサー
誤差のO-記法 多変数の場合
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
Ｏはランダウの記号ですか。それなら、 この場合、Ｏ（|x^2+y^2|^n)の形に表さないといけません。 (0,0)のまわりのテイラー展開の式は F(x,y)= + F(0,0) + Fx(0,0)x+Fy(0,0)y +1/2 Fxx(0,0)x^2 + Fxy(0,0)xy + 1/2 Fyy(0,0) y^2 +Ｏ（|x^2+y^2|^3)
関連するQ&A
- 2変数関数のテイラーの定理の問題について
どうにか2変数関数のテイラーの定理の問題まで解き進めることができました。 ここまでこれたのも、こちらでご指導くださった皆様のおかげと大変感謝しております。まだまだ勉強不足ですが、引き続きご鞭撻のほど、よろしくお願いしまします。 2変数関数のテイラーの定理の問題を解いてみたのですが、 これであっているのか、ご指導いただければと思います。 特に(5)が自信ないです。 【問題】 次の2変数関数に、n=2の場合の「マクローリンの定理」を適用せよ。 ※2変数関数のマクローリンの定理 f(x,y)=f(0,0) +(1/1!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)} f(0,0) +(1/2!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(2) f(0,0) +… +(1/(n-1)!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n-1) f(0,0) +(1/n!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n) f(θx,θy) (0<θ<1) ※2変数関数のマクローリンの定理(n=2の場合) f(x,y)=f(0,0)+{fx(0,0)+fy(0,0)y} +(1/2){fxx(θx,θy)x^(2)+2fxy(θx,θy)xy+fyy(θx,θy)y^(2)} (1) x+y f(x,y)=x+y f(0,0)=0 fx(x,y)=1 fx(0,0)=1 fy(x,y)=1 fy(0,0)=0 fxx(x,y)=0 fxx(0,0)=0 fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0 fyy(x,y)=0 fyy(0,0)=0 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0 (2) x^2+y^2 f(x,y)=x^2+y^2 f(0,0)=0 fx(x,y)=2x fx(0,0)=0 fy(x,y)=2y fy(0,0)=0 fxx(x,y)=2 fxx(θx,θy)=2 fxy(x,y)=0 fxy(θx,θy)=0 fyy(x,y)=2 fyy(θx,θy)=2 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2) =(1/2)(2x^2+2y^2) =x^2+y^2 (3) x^2+2xy+y^2 f(x,y)=x^2+2xy+y^2 f(0,0)=0 fx(x,y)=2x+2y fx(0,0)=0 fy(x,y)=2x+2y fy(0,0)=0 fxx(x,y)=2 fxx(θx,θy)=2 fxy(x,y)=2 fxy(θx,θy)=2 fyy(x,y)=2 fyy(θx,θy)=2 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2) =(1/2)(2x^2+4xy+2y^2) =x^2+2xy+y^2 =(x+y)^2 (4) x^3+y^3 f(x,y)=x^3+y^3 f(0,0)=0 fx(x,y)=3x^2 fx(0,0)=0 fy(x,y)=3y^2 fy(0,0)=0 fxx(x,y)=6x fxx(0,0)=0 fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0 fyy(x,y)=6y fyy(0,0)=0 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用する。 ただし、3次式のため、fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)までの計算とする。 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0 (5) e^(x)・sin(y) f(x,y)=e^(x)・sin(y) f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 fx(x,y)=e^(x)・sin(y) fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 fy(x,y)=e^(x)・cos(y) fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1 fxx(x,y)=e^(x)・sin(y) fxx(θx,θy)=e^(θx)・sin(θy) fxy(x,y)=e^(x)・cos(y) fxy(θx,θy)=e^(θx)・cos(θy) fyy(x,y)=e^(x)・(-sin(y))=-e^(x)・sin(y) fyy(θx,θy)=-e^(θx)・sin(θy) 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+1y) +(1/2)(e^(θx)・sin(θy)・x^2+2・e^(θx)・cos(θy)・xy-e^(θx)・sin(θy)y^2) =y+(1/2)e^(θx)(sin(θy)・x^2+2cos(θy)・xy-sin(θy)y^2) =y+(1/2)θ・e^(θx)(sin(y)x^2+2cos(y)xy-sin(y)y^2) =y+(1/2)θ・e^(θx)((x^2-y^2)sin(y)x^2+2cos(y)xy) 以上、よろしくお願いしたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2変数関数について・・・？
2変数関数のz = f(x,y) = x^2 / (x^2 + y^2)の f(x,y),fx,fy,fxx,fxy,fyx,fyy、はどうなるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開
f(x,y) = 3x^2+4xy-5y^2の(1,-2)のまわりでの２次のテイラー展開を求める問題なのですが テイラー展開は f(x,y) = f(1,-2) + (fx(1,-2)x + fy(1,-2)y)+1/2(fxx(1,-2)x^2 + 2fxx(1,-2)xy + fyy(1,-2)y^2) + R3 でいいのでしょうか？ これから第二近似を行うと fxxx = fyyy = 0であるからR3=0 つまり、 f(1,-2) = -25 - 2x -4y + 3x^2 -5y^2 + 4xy これでいいのでしょうか？ もしかしたら２変数におけるテイラー展開を誤って学習してしまったかもしれないので。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求
f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください 特にfxxからまったく分からないので教えてください 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求
f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください fxxから本当に分からないので教えてください 回答よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 問題が解けません誰か解法と答えを教えてください
２変数関数ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ^3-3x+3xy^2について （１）連立方程式ｆｘ（ｘ、ｙ）＝ｆｙ（ｘ、ｙ）＝０を解け (2)不等式fxx(x,y)fyy(x,y)-{fxy(x,y)}^2>0の表す領域を図示せよ （３）f(x,y)の極値を求めよ です、お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ヘッシアンが０になった場合
ヘッシアンが０になった場合。 ヘッシアンが０になった場合について質問します。 この場合具体的にどうすればいいんでしょうか。 いろいろ調べましたが ３次近似をするとか、候補の点の近くを適当に動いてみて考えるとか もっと高次の場合を考えるとか。 いろいろな回答が出てきましたが、 コレッ ていう考え方がわかりません。 ただ自分の知識不足なんですがね。 例題を載せますので、よろしければ詳しく教えて下さい。 f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2の極値を求めよ fx=0 かつ fy=0 より 極値をとる点の候補を得る。（√２,-√２）,(-√２,√２),(0,0) ここでヘッシアンを用いる H(x,y)=fxx*fyy-(fxy)^2 点(0,0)について H(0,0)=0 ここからどうすればいいでしょうか。 あとの２点は計算した所極値をもちました。 よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 高次(階)偏導関数の問題について
高次(階)偏導関数の問題をどうにか解いてみたのですが、 あっているか自信がありません。特に(6)の問題。 わかる方、ご指導よろしくお願いします。 【問題】 次の関数f(x,y)の2次までの変動関数を求めよ。 (1) x^2+3xy+y^2+2 fx(x,y)=2x+3y fy(x,y)=3x+2y fxx(x,y)=2 fxy(x,y)=3 fyx(x,y)=3 fyy(x,y)=2 (2) log(x^2+y^2+1) d/dt log(t)=1/t δ/δx x^2+y^2+1=2x δ/δy x^2+y^2+1=2y 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2x=2x/(x^2+y^2+1) fy(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2y=2y/(x^2+y^2+1) 商の微分の公式を適用し fxx(x,y)={(2*(x^2+y^2+1)-2x(2x)}/(x^2+y^2+1)^2=-2(x^2-y^2-1)/(x^2+y^2+1)^2 同様に計算し、 fxy(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2 fyx(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2 fyy(x,y)=2(x^2-y^2+1)/(x^2+y^2+1)^2 (3) e^(xy) d/dt log(t)=e^t δ/δx xy=y δ/δy xy=x 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=e^(xy)*y=y e^(xy) fy(x,y)=e^(xy)*x=x e^(xy) fxx(x,y)=y e^(xy)*y=y^2 e^(xy) fxy(x,y)=y e^(xy)*x=xy e^(xy) fyx(x,y)=x e^(xy)*y=xy e^(xy) fyy(x,y)=x e^(xy)*x=y^2 e^(xy) (4) e^(2x+3y) d/dt log(t)=e^t δ/δx 2x+3y=2 δ/δy 2x+3y=3 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=e^(2x+3y)*2=2 e^(xy) fy(x,y)=e^(2x+3y)*3=3 e^(xy) fxx(x,y)=2 e^(2x+3y)*2=4 e^(xy) fxy(x,y)=2 e^(2x+3y)*3=6 e^(xy) fyx(x,y)=3 e^(2x+3y)*2=6 e^(xy) fyy(x,y)=3 e^(2x+3y)*3=9 e^(xy) (5) x^2+3xy+4y^2+1 fx(x,y)=2x+3y fy(x,y)=3x+8y fxx(x,y)=2 fxy(x,y)=3 fyx(x,y)=3 fyy(x,y)=8 (6) xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0)) { 0 ((x,y)=(0,0)) fx(0,0)={f(x,0)-f(0,0)}/x=0/x=0 同様に fy(0,0)={f(0,y)-f(0,0)}/y=0/y=0 (x,y)≠0のとき、商の微分の公式を適用して fx(x,y)=y(x^4+4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2 fy(x,y)=x(x^4-4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2 再度、商の微分の公式を適用して fxx(x,y)=-4xy^3(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)^3 fxy(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3 fyx(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3 fyy(x,y)=-4xy(2x^4+x^2+y^4)/(x^2+y^2)^3 疑問点1 fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy(0,0)についても、 求めなくてもいいのでしょうか？ 疑問点2 商の微分を2回行うことにより、計算結果を導いたのですが、 もっと簡単な手順で導く公式等はないのでしょうか？ たびたびの質問で申し訳ありませんが、 ご指導のほどよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます！ 助かりました