質問 大学 数学 条件付きの極値

質問

0≦x≦3、-3≦y≦0のとき、関数f(x,y)＝(x + y^2 +2y)e^2x
の最大値、最小値を求めよ。
という問題の解説をお願いします。

最大値、最小値なので、
まずfx、fyを求めて極値になる停留点の候補を探すのは大丈夫なのですが、
境界線上の点の求め方があいまいなのでお願いします。

回答No.2

IveQA · ベストアンサー

>たとえば、f(x,y)=f(0,t) (-3≦t≦0)としてf(0,t)＝t^2+2t　　　f'(0,t)=2t+2としてみました。t=-1で、停留点？が(0,1)になるということですか？
fx=fy=0になるとは限らないから
停留点とは呼ばず最大・最小の候補だろうね。
x=0のときf(0,y)=y^2+2y=(y+1)^2-1 (-3≦y≦0)
わざわざyをtに置き換える必要なし。
-3≦y≦0での2次関数の最大・最小問題。
高校レベルだよね。
放物線の頂点だけでなく端っこも忘れずに。

>また、f(x,y)=f(t.0) (0≦t≦1)としてf(0,t)＝2te^2t　　　f'(0,t)=2e^2 (1+2t)でt=-1/2　tの範囲より不適なので停留点？ではないということでしょうか？
xの範囲が変わりf(x,y)が2倍されているのは何故？
f(x,0)=xe^(2x)でfx(x,0)>0だから
最大・最小になり得るのは端っこだけだよね。

回答No.1

IveQA

>境界線上の点の求め方があいまいなのでお願いします。
境界線上なら例えばx=0などとx,yのいずれかが固定される。
それを代入して別の文字での最大最小を調べればいいのでは？

お礼

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補足

回答ありがとうございます。
たとえば、f(x,y)=f(0,t) (-3≦t≦0)として
f(0,t)＝t^2+2t　　　f'(0,t)=2t+2としてみました。
t=-1で、停留点？が(0,1)になるということですか？

また、f(x,y)=f(t.0) (0≦t≦1)として
f(0,t)＝2te^2t　　　f'(0,t)=2e^2 (1+2t)で
t=-1/2　tの範囲より不適なので停留点？ではないということでしょうか？