条件付き極値の問題

質問

一応検索はしたんですが、似たようなものでももっと難しい問題しかなかったので質問させていただきました。重複あったら申し訳ありません。
条件付極値の問題なのですが、
x^2+y^2=1のとき、関数z=x*yの最大値と最小値、およびそれらを取る点を求めよ
というものです。もう少し簡単なのはできたんですが、これは結果に文字が残ったりしてうまくいかないんです。よろしくお願いします。

回答No.1

Rossana · ベストアンサー

f(x, y)=xy, g(x, y)=x^2+y^2-1
とおくと
g(a, b)=0とf_x(a, b)/g_x(a, b)=f_y(a, b)/g_y(a, b)
を連立させて解けばいいのでは．
文字が残ったというのは具体的にはどういうことでしょうか？

回答No.5

mixchann

ふつうは、＃２さん、＃３さんの第２解、＃４さんのように回答すると思いますが、質問者さんは満足できないのでしょうか。
以下に、恒等式を使った証明を紹介します(＃２～４さんに比べると、原始的ですが)。
x^2+y^2=1 より、
　x^2・y^2= {(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)^2}/4 = { 1-(x^2-y^2)^2 }/4 ≦ 1/4　　　　　(1)
√(x^2・y^2) ≦ 1/2
　 |xy| ≦ 1/2
　 -1/2 ≦xy ≦ 1/2　　　　　(2)
(2)の右辺で＝が成り立つのは、(1) からも分かるように x^2=y^2 かつ xy>0⇔ x=y のとき。また、(2)の左辺で＝が成り立つのは、x^2=y^2 かつ xy < 0 ⇔ x=-y のときです。これを x^2+y^2=1 に代入してして、x, y の値を求めればよいわけです。
まとめると、
　　　最大値 (x,y)=(1/√2, 1/√2) または (-1/√2, -1/√2) のとき 1/2
　　　最小値 (x,y)=(1/√2, -1/√2) または (-1/√2, 1/√2) のとき －1/2
となります。あと、付け足しですが、この問題は、幾何学的には、単位円(中心が原点、半径1)と双曲線群 xy=k が共有点をもつとき、k の最大値・最小値を求めよ、という問題と同じです。

回答No.4

tarame

条件 x^2+y^2=1 において
相加平均・相乗平均の関係より
2√(x^2)(y^2)≦x^2+y^2
2√(xy)^2≦1
|z|≦1/2
等式は、x^2＝y^2 のとき
（すなわち x＝y または　x＝-y のとき)
条件式に代入すれば、ｘ,ｙが求まります。

回答No.3

onakyuu

この手の問題を一般的に解くにはラグランジェの未定
乗数法を使います。ラグランジェの未定乗数法がなぜ
有効なのか理解するのは大変ですが、使いこなすのは
簡単です。詳細は下記URLを参照してください。
結局はNO１さんのいうとおりになると思います。

この問題ではラグランジェの未定乗数法を使わなくて
も、もっと間単に解けます。

解法１
(x+y)^2 >= 0, (x-y)^2 >=0
なので展開すると
x^2+2xy+y^2 >=0, x^2-2xy+y^2 >= 0
となります。
x^2とy^2の項を右辺に移して２で割ると
xy >= -(x^2+y^2)/2 , -xy >= -(x^2+y^2)/2
x^2+y^2=1を代入してまとめると
-1/2 <= xy <= 1/2
すなわち最大値は1/2、最小値は -1/2になります。
このときのx,yは、等号が成り立つ場合の方程式を
解くと求まります。

解法２
x^2+y^2=1の条件から
x=cos(a), y=sin(a)
とおけるので、
xy = cos(a) sin (a)
= sin(2a) /2
したがって最大値1/2、最小値は -1/2になります
（a=π/4,-3π/4で最大、a=-π/4,3π/4で最小です）

参考URL：

http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lagrange/l1.html

回答No.2

hpsk

x^2+y^2=1
この手のx,yの条件式が与えられた場合、
(x,y)が原点中心、半径1の円上の点であることを利用して、
x = cos t
y = sin t
おけばうまくいくことが多いです。
z = sin t × cos t
の最大,最小なら簡単に求まりますね。