条件付き極値問題

質問

学校の問題で、
x^2+y^2≦1のとき
(1)x^2-x+y^2
(2)x^2+xy+y^2+x+y
(3)x^3+y^3-3xy
の関数の最大値と最小値を求めよ、という問題なんですが、
ラクランジュの未定係数法を適用できなくて
打つ手が無いです。
解き方を教えてもらえればすべて解けると思うので
解き方を教えてください。
（個人的にはx^2+y^2=1の時を考えて
なんとかするのかと思ってますが）

回答No.1

totoro7683

x^2+y^2=r^2（0≦ｒ≦1）とおき
まずｘ＾２＋ｙ＾２＝ｒ＾２上において
ラグランジュの乗数法を用いて最大最小問題を解きます。
つぎに上で求めた最大最小をｒの関数とみなし、
ｒを０から１まで変化させて最大最小を求めます。
（１）だけ解いてみましょう。
ｆ＝x^2-x+y^2
g=x^2+y^2-r^2とおく。
ラグランジュの乗数法より
fx=agx,fy=agy,g=0をとく
2x-1=2ax,2y=2ay,x^2+y^2=r^2
これをとくとaは１でないからy=0,x=r,-r
最小値r＾２－r、最大値ｒ＾２＋ｒ
rを０から１まで変化させ
r^2-rの最小値とｒ＾２＋ｒの最大値を求める。