極値を持つ条件

質問

y=ax-sin3xが極値を持つようにaの条件を求めよという問題で、

y’=a-3cos3xが0になるように定めると、-3≦a≦3が出て、a=±3の時は極値を持たないから除いて答えは-3<a<3というところまでは良いのですが、a=±3が極値になるかどうかは、毎回手計算で確かめないといけないのでしょうか。見分ける方法などがあれば教えていただきたいです。お願いします。

回答No.1

kiha181-tubasa

＞y’=a-3cos3xが0になるように定めると、-3≦a≦3が出て……
　y’=a-3cos3xが0になりかつ，そのxの前後でy’の符号が変わることが必要十分なのです。
つまり，a-3cos3x=0つまりcos3x=a/3を満たすxが存在するための条件は，確かにあなたのおっしゃる通り-1≦a/3≦1から-3≦a≦3となるのですね。
しかし，a=3のときは
y’=a-3cos3x=y’=3(1-cos3x)≧0　つまりyは単調に増加します。
a=-3のときは
y’=-3-3cos3x=y’=-3(1+cos3x)≦0　つまりyは単調に減少します。
つまり，増加から減少，または減少から増加への変化がありません。だから極値を持たないことはお分かりのようですね。

さて，お尋ねの
＞a=±3が極値になるかどうかは、毎回手計算で確かめないといけないのでしょうか。見分ける方法などがあれば……
　これに関しては，「y’=a-3cos3xが0になりかつ，そのxの前後でy’の符号が変わることが必要十分」で「逃げて」も良いでしょう。
　（でも，a=3,-3の場合は極値を持たない事を理由を付けて証明するのも「気持ちよい」とは思いませんか。）

一律に見分ける方法などあるのかしら？
その都度考えるのが数学だと思いますが。考えること，証明することを楽しんでください。