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極値
関数f ( x ) = xlog x - ax^2 -x + 1 について、次の問いに答えよ。 f ( x ) が極値をもつような a の取り得る値の範囲を求めよ。 解答 「 f ( x )が極値を持つ 」 「f ' ( x )がその前後で符号を変えるxの値を持つ」 「x ＞ 0 において y = log x と y = 2axのグラフの上下が変化する」 y = logx 上の点（ t , log t ) における接線は・・・・・★ y = 1 / t ( x - t ) + log t = 1 / t x - 1 + log t これが( 0 , 0 ) を通るとすると 0 = - 1 + log t log e t = 1 ( log のeが低でtが真数です ) ∴ t = e よって y = logx の接線で原点を通るものは y = (1 / e )x したがってグラフより 2a ＜ 1 / e ∴ a = 1 / 2e ★以降がよくわかりません。 なぜ、接線が出てきて、原点を通るものなのか、eはなぜでてきたのか。 わかりやすく、教えてくださいお願いします。
- kou94
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解答２行目の「x ＞ 0 において y = log x と y = 2axのグラフの上下が変化する」という表現がわかりにくくて、ここは「x ＞ 0 において y = log x と y = 2axのグラフが２点で交わる」とすれば分かりやすくなるのではないでしょうか。 y = 2axは原点を通る直線ですから、y = log x と y = 2axのグラフが２点で交わるためには、原点を通りy = log xに接する直線の傾きよりも、y = 2axの傾きが小さい必要が有ります。このため、接線を求めているのです。 数学でlogの底を省略している場合は、底はeです。 y=log x ならば、x=e^yなのはご存じですね。 log t=1 を解けば、すなわちt=eです。
その他の回答 (3)
参考までに、接線を使わない方法も示しておきます。 f ' ( x )がその前後で符号を変えるxの値を持つというのは、 f ' ( x )が増加して、x軸を横切る、または、f ' ( x )が減少して、x軸を横切る、のいずれかであればよいので、 f ' ( x )の増減表を書いてみます。 f '' ( x ) ＝1/x - 2a より、y = f ' ( x ) は、1/2a で極大となります。（表は自分で作ってみてください） また、lim[x→0](f ' ( x ))=-∞ lim[x→∞](f ' ( x ))=-∞（これは、たぶんlim[x→∞](x/e^x)=0 からいえるでしょう。） ですので、log(1/2a)-1>0 なら、かならず「f ' ( x )がx軸を横切る」、すなわち「f ( x )が極値を持つ」ことがわかります。 あとは、log(1/2a)-1>0 を解くだけです。（a>0を忘れずに） a<=0 のときも同様に、解けます。（単調増加になると思います） （このときは、lim[x→∞](f ' ( x ))=∞ に注意）
お礼
遅くなってすいません、回答ありがとうございました。 別解も参考になりました。
- debut
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＞「f ' ( x )がその前後で符号を変えるxの値を持つ」 ということなので、logx-2ax がｘ＞０において、常に logx-2ax＞0 とか logx-2ax＜0 とかになってはいけない ということですよね。（実際はlogxのグラフとaxのグラフを 考えてみれば、常にlogx-2ax>0 はありませんが・・） そこで、ｘ＞０において常にlogx-2ax＜0となるのはどんな 場合かとみれば、原点を通る直線y=2axが曲線y=logxの上側 にある場合です。（logx＜2ax→logx-2ax＜0となる） そしてそのとき、直線y=2axの傾き2aは、曲線y=logxと接する ときの傾きより大きくなっています。 したがって、逆に、ｘ＞０において常にlogx-2ax＜0とならない つまり、f'(x)の符号の変わり目ができるのは 「y=2axの傾き 2aが曲線y=logxと接するときの傾きより小さくなって、直線と 曲線が交わる場合である」とわかります。 このとき、あるｘの値を境にしてlogx＞2axとなったりlogx＜2ax となったり、つまり、f '(x)＞０となったりf '(x)＜０となったり と符号の変わり目があるということになります。 だから、この条件を満たす境界となるy=logxの接線を求める わけです。しかも、直線y=2axは原点を通るので、接線のうち 原点を通る接線を求めるわけです。 ｅは、原点を通るｙ＝logｘの接線を計算してみたら、logt=1 が得られたので、これを解いてｔ＝ｅ。結局は接点が（ｅ,１) だったということです。 （最後は回答になってないような・・ｅが出てきた理由は★の 計算にもあるように、logeｘが関係したからとしか・・）
お礼
遅くなってすいません、回答ありがとうございました。 理解できました。
- abyss-sym
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y=2ax は(0,0)を通ります。 グラフを書いて考えるのが1番わかりやすいと思います。 『x＞0 において y=logx と y=2ax のグラフの上下が変化する』 ということは、y=2ax の傾きが、y=logx の接線で原点を通るものの傾きより大きければいい。 もし、傾きが1/eより小さければ、常にy=logx が上になってしまい、上下が変化しません。 ちょうど1/eであれば、１点で接するだけで、上下が変化することはないです。 いわば、交わるためのギリギリのラインです。 なので、1/eより傾きが大きければ（接線の傾きより大きければ）上下が変化すると考えられます。 わかりにくくてすいません。参考にしてみてください。
お礼
遅くなってすいません、回答ありがとうございました。 参考になりました。
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お礼
遅くなって申し訳ありません。 eはそういうことだったんですね、回答ありがとうございました。