関数の極値の求め方

質問

この関数の極値の求め方初めてなので説明お願いします。

z=x^3 - 3x^2 y +6y^2 +24y

回答No.2

transcendental · ベストアンサー

∂ｚ/∂ｘ＝３ｘ（ｘ－２ｙ）、∂ｚ/∂ｙ＝－３（ｘ＾２－４ｙ－８）
∂＾２ｚ/∂ｘ＾２＝６（ｘ－ｙ）、
∂＾２ｚ/（∂ｘ∂ｙ）＝ー６ｘ、
∂＾２ｚ/∂ｙ＾２＝１２．

∂ｚ/∂ｘ＝∂ｚ/∂ｙ＝０より、
（ｘ、ｙ）＝（０、－２）、（４、２）、（－２、－１）
この３点について、極値を与えるかどうかを第二次偏導関数を使って調べます。

（ｘ、ｙ）＝（０、－２）のとき、
まず、｛∂＾２ｚ/∂ｘ＾２｝＝１２＞０．さらに、
｛∂＾２ｚ/（∂ｘ∂ｙ）｝＾２－｛∂＾２ｚ/∂ｘ＾２｝・｛∂＾２ｚ/∂ｙ＾２｝＜０　より、（０、－２）は極小値を与える。

（ｘ、ｙ）＝（４、２）のとき、
まず、｛∂＾２ｚ/∂ｘ＾２｝＝１２＞０．さらに、
｛∂＾２ｚ/（∂ｘ∂ｙ）｝＾２－｛∂＾２ｚ/∂ｘ＾２｝・｛∂＾２ｚ/∂ｙ＾２｝＞０　より、（４、２）は極値を与えない。

（ｘ、ｙ）＝（－２、－１）のとき、
まず、｛∂＾２ｚ/∂ｘ＾２｝＝－６＜０．さらに、
｛∂＾２ｚ/（∂ｘ∂ｙ）｝＾２－｛∂＾２ｚ/∂ｘ＾２｝・｛∂＾２ｚ/∂ｙ＾２｝＞０　より、（－２、－１）は極値を与えない。

回答No.1

spring135

極値を求めるにはx,ｙでzを偏微分して0とおき

∂z/∂x=3x^2-6xy=0　　　(1)

∂z/∂y=-3x^2+12y+24=0　　(2)

を連立して極致を与える点の座標を求める。

(1)より

x=2y　　　　　　(3)

(3)を(2)に代入してせいりすると

y^2-y-2=0

y=2またはy=-1

1)y=2のとき(3)よりx=4,zの式に代入して

z=40

2)y=-1のとき(3)よりx=-2,zの式に代入して

z=-14

(4,2)で極大値ｚ＝40

(-2,-1)で極小値z=-14