ラグランジュの未定乗数法を用いた最大、最小値問題について質問です

質問

問:　x^2-x*y+y^2 = 1 という制約条件の下で x*y+x+y が最大と最小をとることを示し、
Lagrangeの未定乗数法によってそれらの値を求めよ

答:最大値は (x,y) = (1,1) のとき 3

最小値は (x,y) = ( (1/12)*(-9+√21), (1/12)*(-9-√21) ) のとき -13/12

f<x>-λg<x> = 0 ,f<y>-λg<y> = 0 より

(y+1)-λ(2x-y) = 0 ,(x+1)-λ(-x+2y) = 0

∴λ=(y+1)/(2x-y) = (x+1)/(-x+2y)

∴(y+1)(-x+2y) = (x+1)(2x-y)

∴2x^2-2y^2+3x-3y = 0

∴(x-y)(2(x+y)+3) = 0

∴x = y or 2(x+y)+3 = 0

これらを g = 0 に代入して

x^2 = 1 , 12x^2+18x+5 = 0

…

として最大と最小をとる点の候補を求めてから値を求めたのですが、
てっとりばやく最大値、最小値だけを求めるにはどうすればいいのでしょうか?
よろしくおねがいします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞とやってたりするので、同じようにできないものかとおもいまして、、、

出来ないんじゃないか？

以下は高校数学。。。。。。ｗ

ｘ＋ｙ＝ａ、ｘ-ｙ＝ｂとすると、2ｘ＝ａ＋ｂ、2ｙ＝ａ-ｂ　であるから、x^2+x*y+y^2＝（3a＾2＋b＾2）/4＝1　であるから、3a＾2＋b＾2＝4.‥‥(1)
k＝ x^2-y^2 ＝ab　より、判別式を使っても良いが、(1)から　a＝（2/√3）cosθ、b＝2sinθと置けるから、k＝ x^2-y^2 ＝ab＝（4/√3）cosθ*sinθ＝（2/√3）*sin2θ。
｜sin2θ｜≦1より、｜k｜≦2/√3。　等号成立の時の、（x、y）の値は自分で求めて。

お礼

やっぱり出来なかったのですね、スッキリしました。
付き合ってくださりありがとうございます。
高校時代の自分にはこんな問題無理ですね、さすがです。

回答No.1

mister_moonlight

＞てっとりばやく最大値、最小値だけを求めるにはどうすればいいのでしょうか?

簡単な事だよ。
ラグランジュの未定乗数法なんか、使わなければいい。
こんなのは高校数学の問題。対象性から、x＋y＝a、xy＝b　とすれば、単なる2次関数の問題。

手っ取り早く、の意味が違うかな？　。。。。。。ｗ

補足

たとえば

問:　x^2+x*y+y^2 = 1 という制約条件の下で x^2-y^2 が最大と最小をとることを示し、
Lagrangeの未定乗数法によってそれらの値を求めよ

という問題のときには

f(x) = x^2-y^2, g(x) = x^2+x*y+y^2-1
とおいて
f<x>-λg<x> = 0,　f<y>-λg<y> = 0
より

2x-λ(2x+y) = 0 --(1), -2y-λ(x+2y) = 0 --(2)

(1)*x, (2)*yより
2xy-λ(2xy+y^2) = 0 --(1)', -2xy-λ(x^2+2xy) = 0 --(2)'

(2)'-(1)'より
-4xy-λ(x^2-y^2) = 0,
∴λ= -4xy/(x^2-y^2)

また(1)、(2)よりλを消去して
0 = x(x+2y) + y(2x+y)
∴x^2+y^2+4xy = 0

これと g = 0 より
-4xy+xy-1 = 0
∴xy = -1/3

さらに(1)、(2)よりx、yを消去して
0 = -(2-2λ)(2+2λ)-λ^2
= 3λ^2-4
∴λ^2 = 4/3
∴λ=± 2/√3

以上より(1)、(2)、g = 0 をみたすx,y にたいしては
f(x,y) = x^2-y^2 = ±(4/3)*(√3/2) = ±2/√3

よって極大値:2/√3，　極小値:-2/√3

とやってたりするので、同じようにできないものかとおもいまして、、、