ラグランジュの乗数法の問題なんですが…

質問

「φ(x, y, z) = 2x＾2 + y＾2 + z＾2 － 3 = 0 の下で、f(x, y, z) = xyz の最大値、最小値を求めよ」という問題なんですが、途中からわからなくなってしまって…。

S':φ=0は有界閉集合だからf（x,y,z)はS'上で最大値、最小値をとる。
（x0,y0,z0)で極値を取るとすると、S'上でgradφ(4x,2y,2z)≠0、
ラグランジュ乗数法より∃λ0 s.t. gradf(x0, y0, z0) = λ0gradφ(x0, y0, z0)、
すなわち(y0z0, x0z0, x0y0) = λ0(4x0, 2y0, 2z0)

ここまで色々参考にやってみたのですが、あってるのかもわからずこれからどうすればいいのかもわからなくなってしまいましたorz

解法、もしくはヒントなどよろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

普通のラグランジュの未定乗数法やり方だと

F(x,y,z,t)=xyz-λ(2x^2+y^2+z^2-3)
と置いて

x,y,z,λに着いての連立方程式

∂F/∂x=yz-4λx=0
∂F/∂y=xz-2λy=0
∂F/∂z=xy-2λz=0
2x^2+y^2+z^2-3=0

を解いて停留点とλの組(x,y,z,λ)を求め、それらにおける　f(x,y,z)=xyzの　値から
極大値、極小値、鞍点を求め、それらの中から最大値、最小値を求めます。

上の連立方程式を解いて「停留点とλ」の組を求めると
(x,y,z,λ)=
(±√(3/2),0,0,0),(0,±√3,0,0),(0,0,±√3,0),
(-1/√2,-1,-1,-√2/4),(1/√2,-1,-1,√2/4),
(-1/√2,1,1,-√2/4),(1/√2,1,1,√2/4),
(1/√2,-1,1,-√2/4),(-1/√2,-1,1,√2/4),
(1/√2,1,-1,-√2/4),(-1/√2,1,-1,√2/4)

各停留点での極大点・極小点・蔵点の判別
(x,y,z,λ)=(±√(3/2),0,0,0)のとき　f(x,y,z)=xyz=0
(x,y,z,λ)=(0,±√3,0,0)のとき　f(x,y,z)=xyz=0
(x,y,z,λ)=(0,0,±√3,0)のとき　f(x,y,z)=xyz=0
(x,y,z,λ)=(-1/√2,-1,-1,-√2/4)のとき　f(x,y,z)=xyz=-1/√2
(x,y,z,λ)=(1/√2,-1,-1,√2/4)のとき　f(x,y,z)=xyz=1/√2
(x,y,z,λ)=(-1/√2,1,1,-√2/4)のとき　f(x,y,z)=xyz=-1/√2
(x,y,z,λ)=(1/√2,1,1,√2/4)のとき　f(x,y,z)=xyz=1/√2
(x,y,z,λ)=(1/√2,-1,1,-√2/4)のとき　f(x,y,z)=xyz=-1/√2
(x,y,z,λ)=(-1/√2,-1,1,√2/4)のとき　f(x,y,z)=xyz=1/√2
(x,y,z,λ)=(1/√2,1,-1,-√2/4)のとき　f(x,y,z)=xyz=-1/√2
(x,y,z,λ)=(-1/√2,1,-1,√2/4)のとき　f(x,y,z)=xyz=1/√2

φ(x,y,z)= 2x^2 +y^2 +z^2 -3 = 0 より　x^2≦3/2,y^2≦3,z≦3であるから
求めたf(x,y,z)の値の最大のものが最大の極大値、つまり最大値、
最小のものが最小の極小値、つまり最小値といえる。

したがって、
最大値は
f(1/√2,-1,-1)=f(1/√2,1,1)=f(-1/√2,-1,1)=f(-1/√2,1,-1)=1/√2
また、最小値は
f(-1/√2,-1,-1)=f(-1/√2,1,1)=f(1/√2,-1,1)=f(1/√2,1,-1)=-1/√2
と求まります。

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K111.pdf

お礼

回答ありがとうございます。

info22_さんには違う質問にも回答して頂きお世話になりっぱなしですね＾＾；

参考URLもありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

ふつ～は 4変数関数
F(x, y, z, λ) = f(x, y, z) - λφ(x, y, z)
の停留点を求めて～ってやりそうな気はするけど, だいたい同じだからまあいいか.

f=0 が最大値にも最小値にもならないことは明らかなので, 全部掛けるのが簡単?

しかし, 未定乗数法を使わない方が簡単な気がするのはなぜだろう....

お礼

回答ありがとうございます。

自分も最初ラグランジュの乗数法使わずに解いていたのですが、注釈に「ラグランジュの乗数法を用いて～」と書かれていましてorz