ラグランジュの乗数法による最大値、最小値の求め方

このQ&Aのポイント
  • ラグランジュの乗数法を使って、関数 f(x, y, z) = xyz の下で、条件式 φ(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + z^2 - 3 = 0 を満たす最大値と最小値を求める問題です。
  • 最大値と最小値を求めるためには、まず条件式 φ(x, y, z) = 0 の下で f(x, y, z) を最大化または最小化する点を探す必要があります。
  • 具体的な解法としては、ラグランジュ乗数法を使って条件 φ(x, y, z) = 0 と関数 f(x, y, z) の勾配が一致する点を求めることができます。これにより、最大値と最小値を求めることができます。
回答を見る
  • ベストアンサー

ラグランジュの乗数法の問題なんですが…

「φ(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + z^2 - 3 = 0 の下で、f(x, y, z) = xyz の最大値、最小値を求めよ」という問題なんですが、途中からわからなくなってしまって…。 S':φ=0は有界閉集合だからf(x,y,z)はS'上で最大値、最小値をとる。 (x0,y0,z0)で極値を取るとすると、S'上でgradφ(4x,2y,2z)≠0、 ラグランジュ乗数法より∃λ0 s.t. gradf(x0, y0, z0) = λ0gradφ(x0, y0, z0)、 すなわち(y0z0, x0z0, x0y0) = λ0(4x0, 2y0, 2z0) ここまで色々参考にやってみたのですが、あってるのかもわからずこれからどうすればいいのかもわからなくなってしまいましたorz 解法、もしくはヒントなどよろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.2

普通のラグランジュの未定乗数法やり方だと F(x,y,z,t)=xyz-λ(2x^2+y^2+z^2-3) と置いて x,y,z,λに着いての連立方程式 ∂F/∂x=yz-4λx=0 ∂F/∂y=xz-2λy=0 ∂F/∂z=xy-2λz=0 2x^2+y^2+z^2-3=0 を解いて停留点とλの組(x,y,z,λ)を求め、それらにおける f(x,y,z)=xyzの 値から 極大値、極小値、鞍点を求め、それらの中から最大値、最小値を求めます。 上の連立方程式を解いて「停留点とλ」の組を求めると (x,y,z,λ)= (±√(3/2),0,0,0),(0,±√3,0,0),(0,0,±√3,0), (-1/√2,-1,-1,-√2/4),(1/√2,-1,-1,√2/4), (-1/√2,1,1,-√2/4),(1/√2,1,1,√2/4), (1/√2,-1,1,-√2/4),(-1/√2,-1,1,√2/4), (1/√2,1,-1,-√2/4),(-1/√2,1,-1,√2/4) 各停留点での極大点・極小点・蔵点の判別 (x,y,z,λ)=(±√(3/2),0,0,0)のとき f(x,y,z)=xyz=0 (x,y,z,λ)=(0,±√3,0,0)のとき f(x,y,z)=xyz=0 (x,y,z,λ)=(0,0,±√3,0)のとき f(x,y,z)=xyz=0 (x,y,z,λ)=(-1/√2,-1,-1,-√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=-1/√2 (x,y,z,λ)=(1/√2,-1,-1,√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=1/√2 (x,y,z,λ)=(-1/√2,1,1,-√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=-1/√2 (x,y,z,λ)=(1/√2,1,1,√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=1/√2 (x,y,z,λ)=(1/√2,-1,1,-√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=-1/√2 (x,y,z,λ)=(-1/√2,-1,1,√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=1/√2 (x,y,z,λ)=(1/√2,1,-1,-√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=-1/√2 (x,y,z,λ)=(-1/√2,1,-1,√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=1/√2 φ(x,y,z)= 2x^2 +y^2 +z^2 -3 = 0 より x^2≦3/2,y^2≦3,z≦3であるから 求めたf(x,y,z)の値の最大のものが最大の極大値、つまり最大値、 最小のものが最小の極小値、つまり最小値といえる。 したがって、 最大値は f(1/√2,-1,-1)=f(1/√2,1,1)=f(-1/√2,-1,1)=f(-1/√2,1,-1)=1/√2 また、最小値は f(-1/√2,-1,-1)=f(-1/√2,1,1)=f(1/√2,-1,1)=f(1/√2,1,-1)=-1/√2 と求まります。

参考URL:
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K111.pdf
4513133
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 info22_さんには違う質問にも回答して頂きお世話になりっぱなしですね^^; 参考URLもありがとうございます。

その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

ふつ~は 4変数関数 F(x, y, z, λ) = f(x, y, z) - λφ(x, y, z) の停留点を求めて~ってやりそうな気はするけど, だいたい同じだからまあいいか. f=0 が最大値にも最小値にもならないことは明らかなので, 全部掛けるのが簡単? しかし, 未定乗数法を使わない方が簡単な気がするのはなぜだろう....

4513133
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 自分も最初ラグランジュの乗数法使わずに解いていたのですが、注釈に「ラグランジュの乗数法を用いて~」と書かれていましてorz

関連するQ&A

  • ラグランジュ乗数法に関して

    f(x,y)=x^3-xy+y^3において、領域D:-1≦x≦1,0≦y≦1 の最大最小値を求めよ。 どう考えるのでしょうか?ラグランジュ乗数法と睨んでるんですが、領域Dをどのように定式化知ればよいのかわからずできません。 ラグランジュ乗数法の理論的なところはわかっているのですが、それ以前の問題なのでわかる方知恵を貸してください。

  • ラグランジュの未定乗数法!!

    x^2+y^2+z^2=1 である時、 1、関数x-y-zの最大値 2、関数x-y-zの最小値 をラグランジュの未定乗数法で求めよ。 以上の回答、解説どなたかお分かりになりませんでしょうか??? よろしくおねがいいたします!!!

  • 数学 ラグランジュの乗数を用いた最大最小問題

    数学の問題で困っています。 9x^2 +4y^2 =36 のとき、xyの最大値と最小値を求めよ。 この問題をラグランジュの乗数を用いた連立方程式と元の条件式から、 xyの極値の候補が(x,y)=(√2,3/√2),(√2,-3/√2),(-√2,3/√2),(-√2,-3/√2) の4つであることが分かったのですが、ここからどうやって最大、最小を説明するのかがわかりません。 すなわち (1)xyの極値の候補が実際に極値であることをどうやって示すのか (2)極値が最大、最小の値にもなるということをどうやって示すのか 以上の2点で困っています。 詳しい解説お願いします。

  • ラグランジュの未定乗数法を用いる問題

    ラグランジュの未定乗数法を用いる問題がわかりません。 条件x^2+2y^2=1, f(x,y)=xy この式でf(x,y)が極値をとる候補点を全て求め、そこでのf(x,y)の値をそれぞれ求めよ。ただし、その値が極値となることを実際に確かめる必要はない。 λ=±√2/4となったのですが、それ以降がわかりません。ご教授くださると光栄です。

  • ラグランジュの未定乗数法について

    こんにちは、ラグランジュ未定乗数法を使う問題で分からないものがあったので質問させていただきます。 x^2+y^2+z^2=1 の条件の時、f(x,y,z)=5x^2+3y^2+4z^2+4xz+4yzの最大値と最小値を求めよ という問題です。 fx/gx=fy/gy=fz/gz=λで表せるので、 10x+4z=2xλ 6y+4z=2yλ 8z+4x+4y=2zλ の3つの式が得られたのですが、ここからどうすればいいか分かりません。 直接x,y,zの組み合わせを見つけるのは難しそうなので、まずそれぞれの変数をλの式で表して条件式に代入し、λの値を求めた後組み合わせを見つけようと思いました。 しかし、上の3式からそれぞれの変数をλで表せません。なにか他のやりかたがあるのでしょうか。 よろしくお願いします。

  • ラグランジュ乗数法のはいりで…。

    ラグランジュ乗数法を学ぼうとしています。まだラグランジュ乗数法の式を使って、問題を解くなどはしてないのですが、その解説の部分で腑に落ちないところがあったので、質問させてください。 その記述は、 g(x,y) = xy - 36 = 0 の条件のもとで、 f(x,y) = 2x + 3y の極値を求めることを考える。求める極点をxy平面上に落とした点をAとし、極点そのものをBとする。これは等高線g上を動く点がAを通過する瞬間、その上空では z = f(x,y) = 2x + 3y 内の曲線が谷底あるいは山頂になっていることを意味している。動点Bは等高線g上を動いているので、全微分方程式 dz = gxdx + gydy において、 dz = 0 である。 とあるのですが、なぜ動点Bは等高線上を動くのでしょうか?動点Bはxy平面上の双曲線に沿って動く(xy平面を上から見下ろした時に、双曲線に沿って動く)と思うのですが、点自体は f(x,y) = 2x + 3y 上にあるので、等高線上は動かないと思うのですが…。 よろしくお願いします。

  • ラグランジュの乗数法を使った条件付極値問題について

    ラグランジュの乗数法を使った条件付極値問題について誰か教えてください。 x^3-6xy+y^3=0のときx^2+y^2の極値を求めよ という問題なのですが、ラグランジュの乗数法で出た式がどうしても解けません。 テストが近いにも関わらずさっぱりお手上げで困っています。 もしどなたか解ける方がいらっしゃったらどうかよろしくお願いします。

  • ラグランジュの未定乗数法を使う問題

    x+y+z=1 のもとで、f(x)=(x^a)*(y^b)*(z^c)の最大値を求めよ。 なお、a,b,cは正の実数 という問題なのですが、ラグランジュの未定乗数法を用いてこれを解く場合、 L(x,y,z)=x^a*y^b*z^c+λ(x+y+z) とおいてLをx,y,zについてそれぞれ偏微分し、それがゼロとなる方程式を立てればよい、ということだったと思いますが、計算してみると ay=bx az=cx bz=cy となりました。この辺からよくわからないのですが、f(x)の最大値を求めるにはどうすればよいのでしょうか?

  • ラグランジュの未定乗数を二つ使う場合

    ラグランジュの未定乗数を二つ使う場合 V=xyzの極小値を、x+y+Z=1、xy+yz+zx=3の条件下で解く問題がわかりません。 ラグランジュ乗数を二つ使って解けと言われたのですが。 式は立てることができても、答えが出ません。 どなたかお助けください。 お願いします。

  • ラグランジュの未定乗数を二つ使う場合

    ラグランジュの未定乗数を二つ使う場合 V=xyzの極小値を、x+y+z=3、xy+yz+zx=1の条件下で解く問題がわかりません。 ラグランジュ乗数を二つ使って解けと言われたのですが。 式は立てることができても、答えが出ません。 どなたかお助けください。 お願いします。