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指数関数の導関数の公式
「指数関数 x=e^y は対数関数 y=logx の逆関数だから、逆関数の導関数の公式と対数関数の導関数の公式 dy/dx=1/x を用いるとdx/dy=1/(dy/dx)=1/(1/x)=x=e^yとなり、指数関数の導関数の公式(e^y)'=e^yが得られる、○か×か」という問題がわからないのですが、教えて下さい!
- natsuamana
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- Willyt
- ベストアンサー率25% (2858/11130)
○ですね。ただ、dy/dx=1/x を公式として使っていますが、これは d(e^x)/dx = e^x から導き出されるもので、順序が逆なのです。
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- 回答No.6
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
既に言及されてますが, 「それぞれの項目をどのように定義しているか」がわからないと答えられない.... よくあるパターンでは「exp を定義し, その逆関数として log を定義する. そして, exp の導関数を計算して, その逆関数の導関数として log の導関数を求める」というので, この場合だと「得られる」というのは論理的におかしい (仮定を使って証明している感じ). 逆に「dy/dx = 1/x かつ x = 1 で y = 0 となる関数」として log を定義し, その逆関数として exp を定義するということも可能. この場合には (まさに導かれるものなので)「得られる」で正しい.
質問者からのお礼
ご回答ありがとうございました。
- 回答No.5
- Willyt
- ベストアンサー率25% (2858/11130)
>順序が逆とはどういう意味でおっしゃったのですか? e^x の導関数は微分の定義式から導くことができます。ところがその逆函数である logx の導関数は微分の定義から直接導くことはできず、x=e^y をyで微分し、dx/dy = d(e^y)/dy = e`y =x となり、 これより dy/dx = 1/x が求められます。ですからまずe`x の微分が先に求められてから logx の微分がそれによって求められるという順番になるのです。 試しに、e^x の微分が e^x であることを使わないで、logx の微分が1/x であることを証明してみてください。
質問者からのお礼
ご回答ありがとうございました。くわしく勉強の参考にさせていただきます。
- 回答No.4
- mis_take
- ベストアンサー率35% (27/76)
質問に,「問題がわからない」とありますが,まさに「出題の意図がわからない」と解答がわかりません。 想像ですが,出題の意図は,No1 さんと No3 さんの回答を合わせたものを期待しているのではないでしょうか。 普通の教科書に載っているように, まず指数関数の導関数を導き, 逆関数の導関数を用いて,対数関数の導関数を導いた。 そのあとで, 逆関数の導関数を用いて,指数関数の導関数を導いたのなら, ×とは言えないがおかしな主張である。 (「得られる」ではなく「確かめられる」の方がふさわしい) しかし,指数関数の導関数を,導関数の定義に従って(lim を使って)導いた上で 逆関数の導関数を用いて,指数関数の導関数を導いたのなら, ○である。 この両方のことを期待しているのではないでしょうか。
質問者からのお礼
ご回答ありがとうございました。参考にさせていただきます。
- 回答No.3
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
○か×かと言われれば○ dy/dx=1/x は指数関数の導関数とは 独立に証明できるので順序は関係ありません logの連続性とeの(数列の極限としての)定義を使えば, 導関数の定義からほとんど自明です. むしろ指数関数の微分のほうが導出は難しいです. (1/h)(log(x+h)-log(x)) =log(1+(h/x))^{1/h} =(1/x)log(1+(h/x))^{x/h} -> 1/x log(e) = 1/x (h->0)
質問者からのお礼
ご回答本当にありがとうございます。
- 回答No.2
- repobi
- ベストアンサー率30% (8/26)
○だと思います。 納得してしまいました。。 でも高校では、 y=a^x ⇒y'=a^x log(a) (※logは自然対数) を用いて、a=eを代入して、 y=e^x ⇒y'=e^x log(e) =e^x を導いた気がします。。
質問者からのお礼
ご回答どうもありがとうございます。
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質問者からのお礼
ご回答ありがとうございました。ちなみに順序が逆とはどういう意味でおっしゃったのですか? また、途中過程を是非書いていただけると今後勉強の参考になります!ぜひよろしくお願いします。