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微分の極限値の計算方法
- 微分の極限値の計算方法について疑問があります。
- なぜ最初に分数の形で表されているか、その後約分してx+1の形になるのかが理解できません。
- この説明の必要性や意味について詳しく知りたいです。
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以前、http://okwave.jp/qa5093106.htmlにて質問させて頂きました。 以前の質問内容でなかなかご回答頂けなかったので再度質問させて頂きます。 f(x)=x/|x| x=0において微分可能かどうかという問題についてです。これは、連続の式lim[x→a]f(x)=f(a)より、 lim[x→0]x/|x|となるのですが、x/|x|というのはただ単純に約分することは出来ないのでしょうか? 約分できたとすると、lim[x→0]x/|x|=1となり連続になります。 グラフを書いてみたのですが、どうも連続ではなさそうなので、単純に約分できないと言う事でしょうか? lim[x→+0]x/|x|が不定という前提で続けます。 微分可能であるかどうかを示すために、lim[h→0](f(a+h)-f(a))/hを求めます。 右極限はlim[h→+0](0+h/|0+h|-0/|0|)/hとなり0/|0|不定形が出てきてしまいます・・・ 左極限も同じです。。。 どうやったら微分可能でないことを示せるのでしょうか? 解き方が分からずに悩んでいます・・・ 詳しい方ご回答よろしくお願い致します。 また、グラフを添付致しますが、f(x)=x/|x|のx=0におけるグラフは 表すことは出来ないのでしょうか?添付したグラフは正しいですか? 質問内容を整理します。 ・x/|xは単純に約分できないのか。 ・lim[h→+0](0+h/|0+h|-0/|0|)/hはどのようにとけば良いのか? ・x/|xのx=0における部分はグラフで表現できないのか? ・添付したグラフは正しいか? 以上、よろしくお願い致しますm(__)m
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微分係数の定義は、 (1)f´(a)=lim[h→0](f(a+h)-f(a))/h これを変形すると、 lim[h→0](f(a+h)-f(a))=lim[h→0]h・f´(a) よって、lim[h→0]f(a+h)=f(a)となります。 x=a+hとすれば、 (2)lim[x→a]f(x)=f(a) となります。 lim[x→a]f(x)=f(a)はf(x)にaを代入している事と同じになると 思います。 ここで、問題です。 f(x)=|x|のx=0について微分可能で無い事を示す場合、 (1)式で解くと、 右極限 lim[h→+0](|0+h|-|0|)/h=lim[h→+0]|h|/h=1 左極限 lim[h→-0](|0+h|-|0|)/h h=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0](|0-t|-|0|)/-t=lim[t→+0]|t|/-t=-1 となり、lim[h→+0](|0+h|-|0|)/h≠lim[h→-0](|0+h|-|0|)/h なのでf(x)=|x|はx=0について微分可能でない。 (2)式で解くと、 右極限 lim[x→+0]|x|=0 左極限 lim[x→-0]|x|=0 x=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0]|-t|=0 よって、lim[x→+0]|x|=lim[x→-0]|x|となり微分可能であると成ってしまいます。 (1)式=(2)式なのに、解が異なってしまうのは何故でしょうか?
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高校数学で、微積を習いました。微分、そして微分を行う際の考え方として極限値をとったと思いますが、その極限値を求める際の厳密な理論を教えて欲しいのです。高校のときは、サラッと流したというか、大学で詳しく習うとか言われて、詳しく教えてくれなかったと思うので。 微分係数、導関数を求める際に、極限をとりましたが、その時、h→0としたと思います。 1 hを限りなく0に近づけるけれども、0ではない。(約分できる) 2 0とみなされる(0とおける、0と考えられる)ので消去できる。 h→0にはこの二つの意味があったと思います。しかし、これって本で読みましたけど、なにかすっきりしませんよね。(矛盾してるというか・・・) 例を出せば、y=x^2(xの2条)の導関数を導くとき極限をとると 2xΔh+Δh^2(デルタhの2条)/Δh= 2x+Δhとなり 2xとなりますが この時の考え方としてΔhは0ではないから約分できて2x+Δhとなり、Δhは0とみなし2xとなる。 だったと思います。しかしこの考え方だと都合の良い解釈だと思うんですよ。2x+Δhから2xになるのにΔhを0と考えるんだったら、その前のΔhで約分するのもおかしいし(約分出来ないのでは?)、逆に約分できる(0でないので)のであれば、2x+ΔhからΔhをなくすのも?と思うんですよ。 実際、書物を読むと、18世紀、ニュートンとかライプニッツが微分(極限のとり方)を発表した時、かなり批判があったと聞きます。おかしいと。そして、この極限の考え方が正しいと証明されるまで約100年要したとありました。 その正しいと証明された考え方(理論)をどなたか教えてください。もしくはこのテキストをみれば解るという書物があればその書名も教えてください。 お願いします。
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お礼
書いてる意味は分かりました。ありがとうございます。 ちなみに、g(x)=x^2のとき g'(x)=2x はその通りですが、どうやってg'(x)=2xを導いたんでしょうか?導き方を教えてくださいい。
補足
>g'(x)=2x >はその通りですが、どうやってg'(x)=2xを導いたんでしょうか?導き方を教えてくださ>い。 すみません、これ導関数でしたね。