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方向ベクトル 接線の方程式
(1)直線2x+y=0の方向ベクトルはk(a,b)である(kは任意の実数)。a,bの値を求めよという問題なのですが、どうすればいいでしょうか? 直線ax+by+c=0の方向ベクトルは、 (b, -a) または (-b, a) を覚えるしかないのでしょうか? (2)関数y=x^3-4x+8のグラフ上の、x=2に対応する点における接線の方程式を求めてください。 よろしくお願いします。
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補足 >直線ax+by+c=0の方向ベクトルは、 >(b, -a) または (-b, a) >覚えるしかないのでしょうか? 直線を変形してみます。 y=-(a/b)x-c/b この直線の傾きは、-a/bです。つまり、x方向にb増えればy方向に-a増えますし、x方向に-b増えればy方向にa増えることになります。方向ベクトルで考えるのであれば、この直線は、(b, -a)方向もしくは(-b, a)方向に変化しているとみてとれます。 傾きと方向ベクトルは対応しています。 では、実際に方向ベクトルであるかを確かめてみます。 直線の方向ベクトル(b,-a)と法線ベクトル(a,b)が直交していれば内積は0になるので、内積より b・a+(-a)・b=ab-ab=0 となり、直線の方向ベクトルは(b,-a)であることがわかります。また、同様に(-b,a)もそうです。 *法線ベクトルは直線に垂直なベクトルのことです。直線の傾きとそれに垂直な直線の傾きを掛けると、-1になる性質があります。つまり、-a/b・?=-1より、垂直な直線の傾きはb/aであることがわかります。よって法線ベクトルは(a,b)となります。 (1)上記のことを理解したうえで考えますと、方向ベクトルは、k(1,-2)もしくはk(-1,2)となります。 (2)y=f(x)とおきます。 接線の傾きは、もちろんf'(x)ですので、 f'(x)=3x^2-4 となります。 よって、f(x)上にある座標(a,b)における接線の式は、 y-b=(3a^2-4)(x-a) とあらわされます。 x=2のときの接線の傾きは、f'(2)=3・2^2-4=8です。また、このときの座標は(2,8)です。 つまり、y-8=8(x-2) よって、接線の方程式は、y=8x-8となります。
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- f272
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(1) 方向ベクトルは直線上の2つの点がわかれば計算できる。 2x+y=0で x=0のときy=0 x=1のときy=-2 つまり(0,0)と(1,-2)を通る直線だとわかった。 だから方向ベクトルは(1,-2)でいいよね。 (2) y=x^3-4x+8にx=2を代入するとy=8になる。 y=x^3-4x+8をxで微分するとy'=3x^2-4だから,これにx=2を代入するとy'=8になる。 つまり(2,8)を通って傾きが8の直線になるわけだ。 その式はy=8(x-2)+8
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