接線の方程式

質問

2曲線y=x^3-2x+1とy=x^2+2ax+1が接する時
定数aの値を求めよ。またその接点における共通の接線の方程式を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.5

spring135

＃3です。

＞β-y'αが一致する理由教えてほしいです。

日本の直線y=ax+b,y=cx+dが一致するには

a=c　(1)
b=d　(2)

が必要十分条件です。β-y'αは(2)に当たります。

わからなければ教科書をよく読んでください。

回答No.4

alice_44

２曲線が接するとは、共有点において両曲線の接線が一致する
ということです。接点の x 座標を t として、
y=x^3-2x+1 の接線は y=(3t^2-2)(x-t)+(t^3-2t+1)、
y=x^2+2ax+1 の接線は y=(2t+2a)(x-t)+(t^2+2at+1)。
接線が一致するような t の在る a を探せばよい訳です。
その条件は、
(3t^2-2)=(2t+2a) かつ (t^3-2t+1)=(t^2+2at+1) です。　←[＊]

(t^3-2t+1)=(t^2+2at+1) は、展開整理して
t{t^2-t-2(a+1)}=0 となります。
共通解 t が t=0 である場合とそうでない場合に場合分けして…

t=0 の場合、[＊]の条件は -2=2a かつ 1=1 となります。
これを満たす a は、a=-1 です。

t≠0 の場合、[＊]の条件は
3t^2-2t-2(a+1)=0 かつ t^2-t-2(a+1)=0 となります。
両方の式から 2(a+1) を消去して、2t^2-t=0 です。
これを解いて、t=0 または t=1/2。

t=0 は上述なので、t=1/2 の場合を考えると、[＊]の条件は
-5/4=1+2a かつ 1/8=(5/4)+a です。
これを満たす a は、a=-9/8 です。

以上をまとめると、
２曲線が接する a は、a=-1 または a=-9/8 となります。

回答No.3

spring135

y=x^3-2x+1　　　(1)

y=x^2+2ax+1　　　(2)

これらが点（α,β）で共通接線を持つ条件を求める。

接戦の式は

y-β=y'(x-α)

すなわち

y=y'x+β-y'α

点（α,β）における(1),(2)のy'、β-y'αが一致することが必要である。

(1)y'=3x^2-2=3α^2-2 (3)
β=α^3-2α+1
β-y'α=α^3-2α+1-(3α^2-2)α=1-2α^3　　(4)

(2)y'=2x+2a　　　　　　　　(5)
β=α^2+2aα+1
β-y'α=1-α^2　　　　　　　　(6)

(3)＝(5)より

a=3α^2/2-α-1　　　　　　　(7)

(4)＝(6)より

2α^3-α^2=0

α=1/2またはα＝0

α=1/2のとき(7)よりa=-9/8

α=0のとき(7)よりa=-1

QED

補足

β-y'αが一致する理由教えてほしいです。

回答No.2

j-mayol

2曲線y=x^3-2x+1とy=x^2+2ax+1が接する→共有点が１つということですね。
これからaの値と接点を求めてください。そうすれば続きをどなたかが教えてくれるかもね。

補足

y=x^3-2x+1とy=x^2+2ax+1
が解けないんです‥
良ければ解法教えていただけると
ありがたいです。

回答No.1

shintaro-2

2曲線が接するということは、共通のｘ、ｙが少なくとも一組あるということです。
そして、その点の傾きが一緒つまり、微分したものも等しい

従って
　まず、x^3-2x+1＝x^2+2ax+1　を解く
　そして、
　3x^2-2=2x+2aを解く　これで出るのでは？

補足

x^3-2x+1＝x^2+2ax+1　
　が解けないんです‥
良ければ解法教えていただきたいです、、