接線

質問

ｙ＝ｘ^３－ｘ^２＋ｘのグラフとｙ＝aｘ^２が接するとき定数aの値および接点の座標を求めよ。ただし、２曲線が接するというのは、２曲線が共有点を持ち、その共有点における接線が一致することである。
という問題なのですが、２曲線が接するというのは２曲線が共有点を持ちその共有点における接線が一致するというのがどういうことかよくわかりません。ヒントなど教えてください。

回答No.2

springside · ベストアンサー

接点の座標を(p,q)と置く。

この接点は両曲線上にあるから、
q = p^3-p^2+p・・・(1)
q = ap^2・・・(2)

y=x^3-x^2-xを微分すると、y'=3x^2-2x-1
y=ax^2を微分すると、y'=2ax

点(p,q)上での両曲線の接線の傾きが等しいから、
3p^2-2p-1 = 2ap・・・(3)

あとは、(1)、(2)、(3)の連立方程式を解けばOKです。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
接線の問題思い出せなかったので助かりました。

回答No.8

rinri503

ＮＯ６ですが
　回答の下から３行目の交点と傾きは、接点と傾き
　に訂正します

回答No.7

jmh

ｙ＝｜ｘ｜とｙ＝－｜ｘ｜は共有点（原点）を持ちますが、接してはいないです。
ｙ＝０とｙ＝ｘ＾３は原点で接しています。

お礼

すいませんがどういうことかよくわからないのですが・・・。

回答No.6

rinri503

y=x^3+x~2+x ・・・(1)
　ｙ＝ａｘ＾２・・・(2)
(1)(2)より交点は
　　x^3+x~2+x＝ａｘ＾２　より
　　　ｘ｛ｘ＾２－（ａ＋１）ｘ＋１｝＝０
　よって　ｘ＝０または　ｘ＾２－（ａ＋１）ｘ＋１＝０
　ところで　ｘ＝０は　ｘ＾２－（ａ＋１）ｘ＋１＝０の
　　　　　　解ではない
　　よって　(1)(2)が重解すなわち接するのは
　　ｘ＾２－（ａ＋１）ｘ＋１＝０が重解をもつとき
　　Ｄ＝（ａ＋１）＾２－４＝０より
　　　（ａ＋３）（ａ－１）＝０　　∴ａ＝１または－３
　　あとは　２とおりについて交点と傾きをだし
　　　接線の式を求めるといいと思います

　　ｙ＝２ｘ－１と　ｙ＝－２ｘ－５　になるのではない　　ですか

お礼

詳しい回答ありがとうございます。

回答No.5

borkumriff

今までの方が解説してくれてるのと同じ内容になってしまいますが、但し書きの意図は、「接する」という『日本語』を『数学的』な意味で理解してください、という狙いです。
『日本語』では、(1)『交差している』のも、(2)『接している』のも「接する」と言ってしまいます。くっついていることを指しますので。
ところが『数学』では、一般に(2)に意味を指します。(1)の意味ではなく、(2)の意味で捉えてください、という意味で、この但し書きがあります。
この問題を(1)の意味まで含めて解こうとする（一般的ではありませんが）と、答えの範囲も広くなり、問題作成者の意図とかけ離れてしまうため、それを避けるために但し書きで書いてある、ということですね。

お礼

回答ありがとうございます。
詳しい説明でよくわかりました。

回答No.4

febhoney

共有点を持つということは「交わっている」ということと「接している」の場合があるわけです。それで、交わっている場合と区別するために「その共有点での接線が一致する」とあるのだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
よくわかりました！

回答No.3

h1r0p1r0

３次関数と２次関数との接線の場合、接点が一致しなくても同じ接線になることがあるのです。たとえば、３次関数の極値と２次関数の頂点において、ｙの値は同じで、ｘの値が違っていても同じ接線の式ｙ＝ｋ（ｋは定数）になってしまうのです。それを避けるための但し書きです。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど！そういうことだったんですね。
よくわかりました。

回答No.1

MAGGIO

曲線の接線・・・ある点での曲線の傾き。

お礼

回答ありがとうございます。