接している円の共通接線の方程式について。

質問

こんにちは。早速質問に入りますが、
円同士が接していて、その点での２つの円の共通接線を求めるときなのですが、僕は接点の座標を求め、それを使って接線を求める方法で解いていました。
ですが、入試問題の（確か中央大学のセンター併用方式だったと思いますが）をやっていて、回答を見たところ、それぞれの円の方程式を引くだけで共通接線が求まっていました。
具体的には
(x-a)^2 + (y-b)^2 =b^2
(x-A)^2 + (y-B)^2 =B^2
(ただし、A>a,B>b)
が接しているとき、接点も求めずにそのまま
(x-A)^2 - (x-a)^2 + (y-B)^2 - (y-b)^2 = B^2 - b^2
2x(A-a) + 2y(B-b) - A^2 + a^2 = 0
という方法を使っていました。

この方法が可能な理由が分からずに今回質問させていただくことにしたわけですが、この方法を使えば確かに接点を通る直線の方程式が求められることは理解できますが、なぜ共通接線の方程式になるのでしょうか？
この方法を使えば接線が求まることはだいたい想像がついたのですが、接点を通る他の直線ではなく、何故接線になるのかを知りたいのです。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>2x(A-a) + 2y(B-b) - A^2 + a^2 = 0
この式は、2円が交わる時の2円の共通の交点を通る直線の式です。
一般に
2つの曲線
f(x,y)=0,g(x,y)=0が交わる時、それらの全ての交点を通る曲線の式は
kf(x,y)+hg(x,y)=0　…(■)
であらわされます。
k,hを適当に選んで■が直線になるなら、２曲線の交点を通る直線になります。

質問のケースでは、２円が接していますのでそれらの２交点を通る共通の直線は２交点が近づいて一点になった極限として共通の接線になるわけです。
今回のようにx軸に接する２円が互いに接する場合の共通接線は、２円の差から出る直線の他に、２円の上側に接する接線とx軸の２本があり、合計３本あります。なので、全ての共通接線が求まるわけではありません。
２円の共通の接点を通る接線だけ■の接線なのです。

別にx軸に接する２円の条件をはずした
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(x-A)^2+(y-B)^2=R^2
が接する時は、その共有接点を通る共通接線は
両円の式の差をとった（■の式でk=1,h=-1と置いた場合）
2x(A-a)+2y(B-b)^2=r^2-R^2
となります。

より一般的に、２円の交点を通る共通の直線の式として覚えておいた方がいいでしょう。その特別なケースとして２円が接するとき、その接点を通る共通接線になるのだと覚えておいて下さい。

回答No.2

e_o_m

二つの円をC1、C2と呼ぶことにして
C1：(x-a)^2 + (y-b)^2 =b^2
C2：(x-A)^2 + (y-B)^2 =B^2
を少し変形すると
f(x,y)=(x-a)^2 + (y-b)^2 -b^2=0
g(x,y)=(x-A)^2 + (y-B)^2 -B^2=0
となるので
f(x,y)=0となるx,yは円C1をg(x,y)=0となるx,yは円C2を表します。

ここで
f(x,y)+k g(x,y)=0　(*)
という式を作ると、これはkの値によらずf(x,y)=g(x,y)=0となる点を通ります。
すなわちこの(*)と言う式は
（C1とC2の円上にある）＝（C1とC2の接点を通る曲線、又は直線）
を表します。

(*)という式がx^2,y^2の項を含まなければC1とC2の接点を通る直線を表すので、適当にkの値を調整すると（今の場合k=-1）
f(x,y)-g(x,y)=0
{(x-a)^2 + (y-b)^2 -b^2}-{(x-A)^2 + (y-B)^2 -B^2}=0
2x(A-a) + 2y(B-b) - A^2 + a^2 = 0
これは結局C1とC2の接点を通る直線ですが、C1とC2の接点が唯一つなので接線となっています。