微分 数学III 微分・極値

質問

よろしくお願いします。
関数f(x)=e^-x(cosx-sinx)がある。

1．　f'(x)を求めよ

2．　f(x)の0<x<2πにおける極値を求めよ

3．　g(x)=kx-e^-xsinxとする。g(x)が0<x<2πにおいて
　　極大値と極小値をそれぞれ１つずつもつような定数kの値を求めよ。

書き方雑で本当に申し訳ありません。
1と2は自分なりに答えを出せたのですが合ってるか不安です・・

1は-2cosx/e^x
2はx=π/2のとき-e^-2/π　　x=3/2πのときe^-3/2π

と出せたのですがどうも合ってるか自信が無いです。
3番は粘って考えてみましたがお手上げ状態；；
どうもこの3問だけ納得いかないので皆様からのご回答を頂けたら幸いです。

ちなみに某Bさんの記述模試です。
既に受け終わったので問題の復習ということで質問させて頂きました。

また数学の問題を質問したのは今回が初めてで
不慣れな書き方でしっかり問題が伝わってるかも不安だったり・・。
お手数かけますがよろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

f(x) = e^(-x)(cosx-sinx)

1は合ってますが、2は分子分母が逆になっています。
f'(x) = -2e^(-x)cosx = -2cosx/e^x
f(π/2) = -e^(-π/2)
f(3π/2) = e^(-3π/2)

3は、
g(x) = kx-e^(-x)sinx
g'(x) = k+e^(-x)sinx-e^(-x)cosx = k-f(x)

y=f(x)のグラフを描いて、
y=k との交点がちょうど２つあるときのkをさがしてみましょう。

答は、
-e^(-π/2)＜k＜e^(-2π)
となります。

お礼

2番入力ミスです。
ご指摘の通り分子と分母が逆でしたｗ（実際の解答は合ってました）
3番y=k、つまりx軸に平行な直線がg(x)と共有解をもてばいいんですね！
わかりました。ありがとうございます。再度復習してみます！

回答No.2

spring135

1は-2cosx/e^x

OK

2 NO

正解　x=π/2のとき-e^(-π/2)　　x=3π/2のときe^(-3π/2)

3
g(x)=kx-e^-xsinx

g'(x)=k-f(x)

要するにf(x)のグラフが描けるかという問題です。

f(x)は±e^(-x)を漸近線としてcosx-sinxを描けばよい。　

g(x)が極大値と極小値をそれぞれ１つずつもつのはような定数kの値は

g'(x)=k-f(x)＝0

すなわちf(x)=kとなる点xが0<x<2πにおいて2個あるということで

-e^(-π/2)<k<e^(-2π)

が答えです。右側の制限はx=2πのときの値以上にならない条件です。

ちなみに

k<-e^(-π/2)では0
e^(-2π)<k<e^(-3π/2)では3
e^(-3π/2)<k<1では1
1<kでは0

お礼

＞＞k<-e^(-π/2)では0
e^(-2π)<k<e^(-3π/2)では3
e^(-3π/2)<k<1では1
1<kでは0

ものすごく参考になります。
グラフの辺り苦手なのでどういう曲線なのか想像し難かったのですが
何とかなりそうです。丁寧かつ親切なご返答どうもありがとうございました！