極限について（様々な疑問）

質問

極限について疑問があるので、どなたか教えてください。
1)a>0で、lim(n→∞)　(a^n)/n!=0という証明で、
a/N<1/2となるNを取って、(a^n)/n!≦(a^N)/N!(a/N)^(n-N)
で、0になるという証明を教わりましたが、 a/N<1/2という条件には意味があるのですか？　なにか二項分布に関係があるような条件なのですが、a/N<1/3ではいけないのですか？
また、a>0という条件しかないのに、a<1/2×NというNをこっちで勝手に決めても、一般性は保証されるのでしょうか？　a>1/2×Nについては議論しなくていいのでしょうか？

2)２変数の極限で
　　lim(x→0,y→0) x^2/(x^2+y^4)
で、　y→0 で　極限値1 x→y^2で極限値1/2 で極限値なし
なのではないかと思うのですが、

　ここで、x=rcosθ, y=rsinθ　とおくと
与式は　cosθ^2/(cosθ^2+r^2×sinθ^2)　となり、r→0 で
　極値はθという変数によらず一定値1となってしまうという結論を得てしまうのですが、この発想はどこがまずいのですか？

3)An→αならば、(A1+A2+…An)/n→α　という証明は
δ-ε論を使わないと示せないものですか？
　以上の3問が疑問点です。
全部の回答ではなく、一問一問でもいいのでどなたか教えて頂けないでしょうか？　ヒント程度で結構です。

できれば、早い回答をお願いします（図々しいのは承知です、すみません）

回答No.2

rabbit_cat

３は、δ-ε論を使わない証明というのは、どんなものをイメージしてますか？
そもそも、極限値というのはε-δ論法によって定義されているので、ε-δ論法を使わない証明というのは原理的にありえないわけですが。

あらかじめε-δ論法を使って証明されている何かの定理を使って、証明するってのはあるでしょうけど。
もしこういう意味だとするなら、その使っていい定理の一覧を示してくれないと

回答No.1

Tacosan

1 と 2 だけ:
1: 別に a/N < 1/3 でもいいんだけど, 普通は簡単な数字を使うので 1/2 が標準的だと思います. あと, これは「与えられた a に対してうまく N を選ぶと...」ということなので, a/N > 1/2 という場合は議論する必要がありません... というか, 「そんな変な N を選ばないで, もっとまともな N を選べ」ってだけ.
2: 極座標にしたあとですが, よ～く式を見てください. r→0 で「θによらず」1 になりますか? 本当に θに依存しないですか? θ=π/2 でも r→0 の極限は 1 ですか?