阪大の極限の問題で質問です

質問

正の整数nに対してx(n)=r^nsinnθ(ただしr>0,0<θ<π/2)とおく。
x(1)=√3/4,x(2)=√3/8であるときΣ(n=1→∞)x(n)の値を求めよ。
という阪大の問題がわからず解答を見ましたが解答の途中でわからなくなってしまいました。

題意より
x(1)=rsinθ=√3/4　…(1)
x(2)=r^2sin2θ=2r^2sinθcosθ=√3/8　…(2)
(1)を(2)に代入して√3/2rcosθ=√3/8
これよりrcosθ=1/4　…(3)
(1)、(3)の両辺を２乗して加えると
r^2=1/4
r>0よりr=1/2
したがってsinθ=√3/2, cosθ=1/2
0<θ<π/2よりθ=π/3
ゆえにx(n)=(1/2)^nsin(π/3*n)

ここまでの解答はよくわかりました。この後

ここでx(n+3)=(1/2)^(n+3)sin(π/3*n+π)
=-1/8*(1/2)^nsin(π/3*n)
=-1/8x(n)
したがって{x(3m-2)},{x(3m-1)},{x(3m)}はいずれも公比-1/8の等比数列である。

この後も解答は続きますがこの時点でつまずきました。なぜx(n+3)と突然n+3が出てくるのかがわかりません。またその直後のx(3m-2)の3m-2もわかりません。x(n)のシグマを求めるのになぜx(3m-2)なのでしょうか。

なおx(n)のnは添え字です。また*はＸ（かける）です。解答は東京書籍のニューアクションωからです。よろしくお願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

sin{(π/3)*n}の部分に着目して　n=1,2,3,・・・と書き並べてみれば
sin(π/3),sin(2π/3),sin(π),sin(4π/3)=sin{(π/3)+π}=-sin(π/3),
sin(5π/3)=sin{(2π/3)+π}=-sin(2π/3),・・・・
と１番目、４番目、７番目・・・にはsin(π/3)が＋、－、＋・・・と
なって繰り返す、２番目、５番目、８番目・・・にはsin(2π/3)が＋、－、
＋・・・となって繰り返す、３番目、６番目、９番目・・・にはsin(π)
が＋、－、＋・・・となって繰り返すことがわかります。

このことをみて、ｎ番目はそこから３つ目の(ｎ＋３)番目に関連づけられ
るということを示すためにｘ(ｎ＋３)が出てくるのでしょう。

３ｍ－２はその１番目、４番目、７番目・・・のことで、３ｍ－１は２，
５，８番目・・・のことで、３ｍは３、６、９番目・・・のことです。
３つの数列が同時に存在すると考えるわけですね。

お礼

ご回答ありがとうございました

回答No.2

age_momo

途中まで問題を解いた時点で

sin(π/3),sin(2π/3),sin(π),sin(4π/3),sin(5π/3),sin(2π),sin(7π/3)・・・

この周期性に気がつけば分かると思います。結局、

sin(π/3),sin(2π/3),sin(π),-sin(π/3),-sin(2π/3),-sin(π)

3種類の実数の±にまとまります。

例えば実数p,q,sとrがあって

A(1)=pr
A(2)=qr^2
A(3)=sr^3
A(4)=-pr^4
A(5)=-qr^5
A(6)=-sr^6
A(7)=pr^7
・・・・・・・
・・・・・・・

となっていると最低でもA(1),A(7),A(13)・・・が等比数列になっていることに気が
つきますね。

pr,pr^7,pr^13,pr^19・・・　　　　　公比r^6の等比数列です。

もっとよく見ればA(1),A(4),A(7)・・・が等比数列になっているのです。

pr,-pr^4,pr^7,-pr^10・・・・　　公比-r^3の等比数列
qr^2,-qr^5,qr^8,-qr^11・・・・
sr^3,-sr^6,sr^9,-sr^12・・・・

それを踏まえて解答を見直してみてください。
要はn=3m,3m-2,3m-1の場合わけだと思えばいいですよ。
それぞれの場合において合計を求めて最後にそれらを足せば全部の足し算ですね。

Σ[n=1→∞]A(n)=Σ[m=1→∞]A(3m-2)+Σ[m=1→∞]A(3m-1)+Σ[m=1→∞]A(3m)

お礼

ご回答ありがとうございました