級数の極限値

質問

次の級数の極限値について、求め方を教えてください。
lim{x→+0,y→1-0}Σ{n=0,∞}y^n*sin((2n+1)x)/(2n+1)

値は x と y の近づき方によって変わるようです。

sin(a)≒a とみなし
与式≒lim{x→+0,y→1-0}Σ{n=0,∞}y^n*x
=lim{x→+0,y→1-0}x/(1-y)

となるかと思ったのですが、与式を計算してみると x/(1-y)=1 の時の値は 0.55 位でした。
※その計算が間違いという可能性もあります。
正しい求め方はどうするのでしょうか？

なお、与式=0.5 とした時の x と y の関係を求めるのが最終目的なんです。

回答No.4

ramayana · ベストアンサー

「無限等比級数の項別積分で計算」

z を |z|<1 なる複素数とするとき、添付図の１行目のように無限等比級数の計算ができます。これを z の関数とみたとき、|z|<1 の領域で広義一様収束ですから、項別の積分が可能で、添付図２行目の等式を得ます。ここで、log は多価関数ですが、状況に応じて適切な枝が選ばれることになります。この式を使って、最初のご質問の無限級数を計算できます。

最初の無限級数を f(x,y) として計算してみると、

f(x,y) = (1/(2y^0.5))arctan(2y^0.5sin(x)/(1-y))

となりました。間違っているかもしれないので検算してみてください。

そこで、仮に y = 1- βx^α と置くと、次のようになります。

0<α<1 のとき　f(x, 1- βx^α) → 0
α=1 のとき　f(x, 1- βx^α) → (1/2)arctan(2/β)
α>1 のとき　f(x, 1- βx^α) → π/4

よって、α=1、β = 2/tan(1) すなわち、

y = 1 - (2/tan(1))x ≒ 1 - 1.284x

の関係があるとき、極限値が 0.5 になります。この関係は、極限値が 0.5になるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

お礼

返事が遅くなりましたが、確認できました。

Σ{n=0,∞}y^n*sin((2n+1)x)/(2n+1)
=1/(2iy^0.5)*Σ{n=0,∞}((y^0.5 e^ix)^(2n+1)-(y^0.5 e^-ix)^(2n+1))/(2n+1)
=1/(2iy^0.5)*1/2*(log(1+y^0.5 e^ix)-log(1-y^0.5 e^ix)-log(1+y^0.5 e^-ix)+log(1-y^0.5 e^-ix))
=1/(2y^0.5)*1/2*(2atan(y^0.5 sinx/(1+y^0.5 cosx))+2atan(y^0.5 sinx/(1-y^0.5 cosx)))
=1/(2y^0.5)*atan((y^0.5 sinx(1-y^0.5 cosx)+y^0.5 sinx(1+y^0.5 cosx))/((1+y^0.5 cosx)(1-y^0.5 cosx)-y^0.5 sinx y^0.5 sinx)
=1/(2y^0.5)*atan(2y^0.5 sinx/(1-y))

となりました。

この式に y=1-ax と置くと
与式=lim{x→+0}1/(2(1-ax)^0.5)*atan(2(1-ax)^0.5 sinx/(ax)))
=1/2*atan(2/a)
となり、aに対して単調減少です。
0.5となるには atan(2/a)=1 により a=2/tan(1)。

これにて目的達成です。
回答ありがとうございました。

回答No.3

ramayana

y^n・sin((2n+1)x)/(2n+1) = c・u^(2n+1)/(2n+1) - c・v^(2n+1)/(2n+1)

ただし、c = 1/(2iy^0.5)、u = y^0.5exp(ix)、v = y^0.5exp(-ix)

なので、この無限級数は、無限等比級数の項別積分で計算できます。

なお、ご質問の近似計算で、sin(a)≒a とできるのは、aが0に近い時だけです。たとえ x が0 に近くても、 n が∞まで動くのだから、sin((2n+1)x) を(2n+1)x で近似するのは無理があります。ただ、「x/(1-y)=1 の時の値は 0.55 位」というのは、いい線行っていますね（正確に計算すると0.5arctan(2)≒0.55357になる）。

お礼

> 無限等比級数の項別積分で計算できます。

とりあえず、これを除けば理解しました。

> たとえ x が0 に近くても、 n が∞まで動くのだから

私の理解の仕方では、「n が∞まで動くのだから」ではなく、「y が1に近いと、より多くの項の影響を受けるから」となります。
よって、影響される度合いを示す x/(1-y) という値で結果が決まるのでしょう。（多分）

0.5arctan(2) という式から類推して、私の求める答は
x/(1-y) = √(π/2) かな。

回答ありがとうございました。
まだ十分には理解できていませんが、今日はここまでです。

回答No.2

alice_44

lim[x→0,y→1-0] Σ[n=0→∞] (y^n)(sin (2n+1)x)/(2n+1) は、
x, y の二重極限の意味で収束しないが、条件収束させるための
条件は何か、また、その条件下での極限を求めよ。て、問題かな。

F(x,y) = Σ[n=0→∞] (y^n){exp i(2n+1)x}/(2n+1) と置くと、
与式 = Im lim[x→0,y→1-0] F(x,y),
F(x,y) = (exp ix) Σ[k=0→∞] {exp (2ix + log y)n}/(2n+1)
と変形できるから、
注目すべきは、x/(1-y) じゃなく、2ix + log y の値なんだろうな。

お礼

> 注目すべきは、x/(1-y) じゃなく、2ix + log y の値なんだろうな。

多分、ここまで変形した後ならば y ≒ 1 として
log y = -Σ{n=1,∞}(1-y)^n/n ≒ -(1-y)
となるだろうから
2ix + log y = 2ix - (1-y)
でしょうね。

かなり、目的に近くなりました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

x がどれほど小さくても n が大きくなることで
sin(a)≒a とみな
せなくなるんじゃないかなぁ.

とりあえず級数の部分をきちんと計算しないとだめだと思う. x で偏微分すれば「x による偏導関数」は計算できそうだけど, それが積分できるかどうかは知らない.

お礼

> x がどれほど小さくても n が大きくなることで
> sin(a)≒a とみな
> せなくなるんじゃないかなぁ.

まずは、私の計算等に問題がないことが分かりホッとしました。
sin(a)≒a と見なせないことも予想の範囲内ですが、
その条件や理由が明確にならなかったんですよね。

回答ありがとうございました。