無限級数及び、無限級数の定義とは?

質問

度々スイマセン。
宜しくお願いいたします。

無限級数の定義について考えております。
以下のような解釈で正しいでしょうか?

無限級数とは

数列{a_n}

(つまり、a_1,a_2,a_3,…)からできる

数列{Σ(a_k,k=1,n)}

(つまり、Σ(a_k,k=1,1),Σ(a_k,k=1,2),Σ(a_k,k=1,3)),…)

のことである。

これを単に

Σ(a_k,k=1,∞)

と表す。

無限級数の値とは数列{Σ(a_k,k=1,n)}の極限値

lim(n→∞,Σ(a_k,k=1,n))

の事であり、

Σ(a_k,k=1,∞)

と表す。

この値の事を無限級数の和とも言う。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

#1です。岩波数学辞典によると、
Σ[n=1 to　∞]a_n
には２つの意味があるようです。

一つは、
a_1+a_2+a_3+・・・
のことです(これを「級数」と呼んでいる)。単にΣa_nとも書きます。
なお、収束とかは一切考えていません。「a_1,a_2,・・・を"+"という記号でつないで並べたもの」という形式的なものでしかありません。(#1に書いた形式的冪級数もこっちの意味です)

もう一つは、
部分和S_n=a_1+a_2+・・・+a_nの列{S_n}が収束する時の、極限値です。
部分和の列の極限値sを「和」と呼んで、Σ[n=1 to　∞]a_n=sなどと書くようです。
式の中で使われるΣ[n=1 to　∞]a_nはこっちの意味ですね。

また、有限数列に対してa_1+a_2+・・・+a_nも級数と呼ぶ事があるので、特に区別する必要がある場合に「有限級数」「無限級数」などと呼ぶようです。

>a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・
>は関数列の極限
>lim(Σ[k=0 to n]a_k x^k)
a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・というのは、本当に形式的なものです。収束とかは一切考えられていません。それどころか、xが実数か複素数か行列かあるいはそれ以外なのか、という事すら決めていません。
何て書けばいいのか分からなかったので、#1では「関数列(?)」と呼びましたが、これは関数ですらありません。(じゃぁ、何のなのかと聞かれると非常に困るのですが)

>(1)
>『無限級数は"無限数列の部分和の数列"』と言えるか?
少なくとも、岩波数学辞典ではその数列を「部分和の列」と呼んでいますし、「(無限)級数」と「部分和の列」とは違うと思います。

>(2)
>『無限級数の和は部分和の数列の極限"』と言えるか?
通常はそのように定義されていると思います。

>参考書には無限級数と無限級数の和とも同記号
>Σ[k=1 to ∞]a_k
>で表しているが"無限級数"と"無限級数の和"は同意なのか?
岩波数学辞典では、「a_1+a_2+・・・」という形式的なものを「(無限)級数」と呼び、部分和の極限を「和」と呼んでいます。(どちらも、同じ記号Σ[n=1 to　∞]a_n
で表しています)
ま、特に区別する必要もないと思いますが。

>(4)
>"無限級数の和"とは"無限級数の値"のことと言えるか?
「無限級数の値」が何を指すのか定義をする必要がありますが、まぁ、同じと考えていいと思います。

お礼

詳細にご説明有り難うございます。

> #1です。岩波数学辞典によると、
> Σ[n=1 to　∞]a_n
：
> る必要がある場合に「有限級数」「無限級数」などと呼ぶようです。
有限級数は知りませんでした。覚えて置きます。

>>a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・
>>は関数列の極限
：
> れは関数ですらありません。(じゃぁ、何のなのかと聞かれると非常に困るのですが)
某書に"形式的べき級数"と書いて有りましたが著者が勝手に名づけたものでしょうね。

>>(1)
>>『無限級数は"無限数列の部分和の数列"』と言えるか?
> 少なくとも、岩波数学辞典ではその数列を「部分和の列」と呼んでいますし、
>「(無限)級数」と「部分和の列」とは違うと思います。
私はわざわざ級数なんて用語を使わずに
「部分和の列」
と呼べばいいのではと思ってもいたのです。
わざわざ級数という名称を使うからには級数とはとても奥が深い概念なのでしょうね。

>>(2)
>>『無限級数の和は部分和の数列の極限"』と言えるか?
：
> 「無限級数の値」が何を指すのか定義をする必要がありますが、
> まぁ、同じと考えていいと思います。
有り難うございます。納得です。

回答No.4

nakaizu

「無限級数」と「無限級数の和」との違いは「極限」と「極限値」の違いのようなものです。
No 1の解答のお礼に書かれていることですと、
(1)はNO
(2)は前半を無視すればYES
(3)は似たようなものだけれども微妙にことなる。収束しているときは同じと思っても問題ない。
(4)同じものなので同じ記号で表わしても問題ない。

形式的冪級数は勝手につけた名前ではなく、普通に使われています。ただし、実数(または複素数)空間の数列の和の極限として定義される「無限級数」とは別のものです。

お礼

有り難うございます。

> 「無限級数」と「無限級数の和」との違いは「極限」と「極限値」の
> 違いのようなものです。
「極限」単にlimの事で
発散、収束
があり、
「極限値」と言ったらlimが収束し、その値のことですよね。
"極限値が∞"とか"極限値は振動"
という言い方はしないのですよね。
同様に
「無限級数の和が発散」とかいう表現は無いのですね。

> No 1の解答のお礼に書かれていることですと、
> (1)はNO
《(1)
『無限級数は"無限数列の部分和の数列 の極限"』と言えるか?》
とすればYESですよね。

> (2)は前半を無視すればYES
《「無限級数」と「無限級数の和」との違いは「極限」と「極限値」違いのようなもの》
から
《『無限級数の和は部分和の数列の極限"』と言えるか?》
↓
《『無限級数の和は部分和の数列の極限値"』と言えるか?》
としないとYESと言えないのではないでしょうか?
(だって、発散する級数の和なんて考えられないんですよね)

> (3)は似たようなものだけれども微妙にことなる。
> 収束しているときは同じと思って
> も問題ない。
《「無限級数」と「無限級数の和」との違いは「極限」と「極限値」違いのようなもの》
ですね。納得です。

> (4)同じものなので同じ記号で表わしても問題ない。
lim a_n
とかと同意ですね。収束・発散とは無関係にlimの記号使えますからね。

纏めると
単に無限級数と言ったら
lim(n→∞,Sn)
の事で、
無限級数の和と言ったら
lim(n→∞,Sn)∈R
の値の事なのですね。

> 形式的冪級数は勝手につけた名前ではなく、
> 普通に使われています。ただし、実数
> (または複素数)空間の数列の和の極限として定義される
> 「無限級数」とは別のものです。
覚えて置きます。

回答No.2

take008

No.1 さんに対するお礼の中の最後の質問について，
(1),(2) は yes です。
(3) 無限級数は数列で，無限級数の和は極限値ですから，同意ではありません。
が，文脈からどちらを指しているかわかるので，同じ記号を使っても混乱しないでしょう。
(4) 無限級数の値？ 無限級数の極限値ですね。それなら yes です。

お礼

有り難うございます。

おかげさまで納得できました。

回答No.1

eatern27

その定義は、どこかに書いてあったものなんですかね？

＞数列{Σ(a_k,k=1,n)}
こういう数列を
＞Σ(a_k,k=1,∞)
のように表す事はないと思いますよ。多分。
このように表記してしまったら、数"列"ではなく、(一つの)数に見えますし。

多くの場合、
S_n=Σ[k=1 to n]a_k
を「部分和」と呼び、n→∞でS_nが収束する時に、その極限を
Σ[k=1 to ∞]a_k
と表記し、「無限級数」あるいは、単に「級数」などと呼んでいると思います。(ただ、これ以外にも、Σ[k=1 to ∞]a_kの定義はあったはず)

例えば、
Σ[k=0 to　∞]a_k x^k
を「形式的冪級数」と呼ぶ事がありますが、この形式的冪級数が指すのは、
a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・
のことであって、
(Σ[k=0 to n]a_k x^k)n∈N
のような関数列(？)ではありません。

まぁ、何に何と言う名前を付けても、基本的に問題ないのですが。

お礼

有り難うございます。

> その定義は、どこかに書いてあったものなんですかね？
いえ、部分的には自分なりの解釈です。

> ＞数列{Σ(a_k,k=1,n)}
> こういう数列を
> ＞Σ(a_k,k=1,∞)
> のように表す事はないと思いますよ。多分。
> このように表記してしまったら、数"列"ではなく、(一つの)数に見えますし。
確認なのですが、無限級数とは
無限数列の部分和がなす数列と言ってもいいわけですよね。
(違いますかね)

某参考書の無限級数頁に
Σ(a_k,k=1,∞)=limΣ(a_k,k=1,n)
という無限級数の和の定義や、
無限級数の極限は部分和の極限のことと記述されてましたので
無限級数とは部分和という数列のことだと解釈しておりました。

> 多くの場合、
> S_n=Σ[k=1 to n]a_k
> を「部分和」と呼び、n→∞でS_nが収束する時に、その極限を
> Σ[k=1 to ∞]a_k
> と表記し、「無限級数」あるいは、単に「級数」などと呼んでいると思います。(た
> だ、これ以外にも、Σ[k=1 to ∞]a_kの定義はあったはず)
某参考書の無限級数頁に無限級数の表し方として
a1+a2+a3+…+an+…
や
Σ[k=1 to ∞]a_k
と述べてあります。

> 例えば、
> Σ[k=0 to　∞]a_k x^k
> を「形式的冪級数」と呼ぶ事がありますが、この形式的冪級数が指すのは、
> a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・
> のことであって、
> (Σ[k=0 to n]a_k x^k)n∈N
> のような関数列(？)ではありません。
a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・
は関数列の極限
lim(Σ[k=0 to n]a_k x^k)
を表してますよね。

うーん、
要約すると以下の事が不明確なのです。

(1)
『無限級数は"無限数列の部分和の数列"』と言えるか?
yesなら
{ }という記号を使って{Σ(a_k,k=1,n)}と表してもいいか?

(2)
『無限級数は"無限数列の部分和の数列"』と言えるか?
yesなら
『無限級数の和は部分和の数列の極限"』と言えるか?

(3)
参考書には無限級数と無限級数の和とも同記号
Σ[k=1 to ∞]a_k
で表しているが"無限級数"と"無限級数の和"は同意なのか?

(4)
参考書には無限級数と無限級数の和とも同記号
Σ[k=1 to ∞]a_k
で表しているが"無限級数の和"とは"無限級数の値"のことと言えるか?