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無限級数の和
次の無限級数の和を求める。 (1)Σ1/[{(2n+1)^2}-1] (2)Σ1/(1+2+3+…+n) 二つとも(n=1→∞)です。 この問題なんですが、(1)はとりあえず分母を展開して 計算したら、Σ1/{4(n^2)+4n}になりました。 ここからどうすればいいでしょうか? (2)は全然分かりません。 あと最初にlim(n→∞)の形に置き換えないといけませんか?
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ヒント: 1/(n*(n+1)) = (1/n) - (1/(n+1)) (1) は展開しないで考えた方が良いです。 (2) はとりあえず分母を計算しましょう。
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- Saebapon
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一般に 1/(ab)={1/(b-a)}{(1/a)-(1/b)} が成立します。これを基本にして計算することが多いです。 具体的に一つ例を挙げると、 Σ(n=1→∞)1/{(2n-1)(2n+1)} =lim(n→∞)Σ(k=1→n)(1/2){(1/(2k-1))-(1/(2k+1)} =lim(n→∞)(1/2)[{1-(1/3)}+{(1/3)-(1/5)}+{(1/5)-(1/7)}+...+{(1/(2n-1)-(1/(2n+1)}] =lim(n→∞)(1/2){1-(1/(2n+1)} =1/2 (1)は 1/[{(2n+1)+1}{(2n+1)-1}] =1/{(2n+2)2n}={1/(2n)-1/(2n+2)}×(1/2) と部分分数に展開できますから、これから求めるといよいです。 (2)は 1/{Σ(k=1→n)k} =2/n(n+1) となりますから、同様に求められます。
- PRISM_MAX
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(2)はちょっと私もわからないので、とりあえず(1)だけ。 まずはヒントということで。 展開してはだめです。a^2-b^2=(a+b)(a-b)の公式で積の形にして、そこからさらに、2つの分数の和(とういか差というか)に分解します。すると、この無限級数が非常に単純な形になることがわかります。
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