無限級数の問題です。

質問

こんにちわ。えみやんです。
久しぶりに質問させていただきます。
今回は無限級数の問題２題なのですが

（１）無限級数　Σ_{ｎ=１}^{∞}〔１/{ｎ(ｎ＋２)}〕
　　　の和を求めてください。

　（１）は部分和を出さなければいけないというのは
　　　　判るのですがどうしたら良いのか判りません。

（２）ある無限等比級数の和は６で、その級数の各項
　　　の平方を項とする無限等比級数の和は１２です。
　　　もとの級数の初項と公比を求めてください。

　（２）は無限等比級数の和の公式を使うのは判るのですが「各項の平方を項とする」という部分がよく判りません

それでは、宜しくお願いします。解答お待ちしております。

回答No.3

hetare_o

#2です
平方根ではなく、平方でしたね。
ですので、#1の方のほうが正しいです。

回答No.2

hetare_o

(1)
下のURLにある例題(3)を参考にすれば、すぐに解けると思います。
(2)
無限等比級数とは
a + ar + ar^2 + ar^3 ...
ですので、「各項の平方」とは a, ar, ar^2 ...のルートを取ったものを指すと思います。
ですので、和の公式を使うとその和は √a/(1-√r) ですよね。
２つの未知数に２つの式、ということで連立方程式を解けば初項と公比は求まります。

ダイレクトに答えを書かずにヒントにしましたが、これでよかったでしょうか？

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/limit/series/definition.htm

回答No.1

ONEONE

(1)部分分数分解をおこなって
(1/2)Σ[k=1...n]{(1/k)-1/(k+2)}
これでnまでの部分和が出ますよね？

(2)
＞各項の平方を項とする
たとえば
a+b+c+・・・
という数列があった場合、各項の平方を項とする数列は
a^2+b^2+c^2+・・・
ということです

初項a(≠0)、公比r(|r|<1)とすると
a　+　ar　　+ ar^2+・・・・＝6―――<1>
a^2+ (ar)^2+(ar^2)^2+・・・・＝12―――<2>
という式が成り立ちますね。

<1>を書き直すとa/(1-r)=6・・・<1>´
<2>は初項a^2、公比r^2の無限等比級数です。
なのでa^2/(1-r^2)=12・・・<2>´

<1>´/<2>´より
(1+r)/a=1/2
これと<1>を連立すればa、rがもとまります。