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無限級数の問題です。
こんにちわ。えみやんです。 久しぶりに質問させていただきます。 今回は無限級数の問題２題なのですが （１）無限級数 Σ_{ｎ=１}^{∞}〔１/{ｎ(ｎ＋２)}〕 の和を求めてください。 （１）は部分和を出さなければいけないというのは 判るのですがどうしたら良いのか判りません。 （２）ある無限等比級数の和は６で、その級数の各項 の平方を項とする無限等比級数の和は１２です。 もとの級数の初項と公比を求めてください。 （２）は無限等比級数の和の公式を使うのは判るのですが「各項の平方を項とする」という部分がよく判りません それでは、宜しくお願いします。解答お待ちしております。
- emiyan
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- hetare_o
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(1) 下のURLにある例題(3)を参考にすれば、すぐに解けると思います。 (2) 無限等比級数とは a + ar + ar^2 + ar^3 ... ですので、「各項の平方」とは a, ar, ar^2 ...のルートを取ったものを指すと思います。 ですので、和の公式を使うとその和は √a/(1-√r) ですよね。 ２つの未知数に２つの式、ということで連立方程式を解けば初項と公比は求まります。 ダイレクトに答えを書かずにヒントにしましたが、これでよかったでしょうか？
- 回答No.1
- ONEONE
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(1)部分分数分解をおこなって (1/2)Σ[k=1...n]{(1/k)-1/(k+2)} これでnまでの部分和が出ますよね？ (2) ＞各項の平方を項とする たとえば a+b+c+・・・ という数列があった場合、各項の平方を項とする数列は a^2+b^2+c^2+・・・ ということです 初項a(≠0)、公比r(|r|<1)とすると a + ar + ar^2+・・・・＝6―――<1> a^2+ (ar)^2+(ar^2)^2+・・・・＝12―――<2> という式が成り立ちますね。 <1>を書き直すとa/(1-r)=6・・・<1>´ <2>は初項a^2、公比r^2の無限等比級数です。 なのでa^2/(1-r^2)=12・・・<2>´ <1>´/<2>´より (1+r)/a=1/2 これと<1>を連立すればa、rがもとまります。
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