対数関数の無限級数を求める問題

質問

∞Σ(ｎ＝２) ｌｏｇ２｛１＋１/(ｎ＾２ー１）}ですが解答ではまず部分和を求めて無限級数を求めていたのですがその部分和が第ｎー１項までの和S（ｎー１）を求めているみたいなのですがなぜ第ｎ項までではないのですか？それに第ｎー１項までの和をもとめるのにS（ｎー１）＝ｎΣ(ｋ＝２) ｌｏｇ２｛１＋１/(ｋ＾２ー１）}と書いてあったのですがなぜS（ｎー１）＝ｎー１Σ(ｋ＝２) ｌｏｇ２｛１＋１/(ｋ＾２ー１）}ではないのですか？どなたか教えて頂けないでしょうか？

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

＞ ｎが２から始まっているからですね。

あぁ、そのとおりだ！　A No.3 は撤回。
これを先に読んでれば、投稿しなかったのにな。
投稿直前に、先行回答は再度確認しているのに、
なぜ、２２分も差がついているのだろう？
確認画面で２分以上経ったとは思えないが。

ところで、
答案に「S(n-1) は第 n-1 部分和」と明記せず
式だけで「～と置く」と定義しておけば、
No.1 No.3 のような事情で
S(n-1) が第何部分和であろうと知ったことでない
…という鉄面皮なスタンスもあり得るかと。
結果は同じなのだし、論理に誤りもない。

回答No.3

alice_44

解答のように S(n-1) = Σ[k=2…n] log_2( 1 + 1/(k^2 -1) ) と置いても、
貴方のように S(n-1) = Σ[k=2…n-1] log_2( 1 + 1/(k^2 -1) ) と置いても、
S( ) の名前付けが異なるだけで、
結果として Σ[k=2…∞] log_2( 1 + 1/(k^2 -1) ) = lim[n→∞] S(n) となる
ことに違いはありません。
どちらの置きかたでも、lim[n→∞] S(n) を計算すれば、同じ答えが求まります。

しかし、確かに
＞ 部分和が第 n-1 項までの和 S(n-1) を求めている
のであれば、貴方のようにしなければ間違いです。

貴方が勝手に S(m) を第 m 部分和だと思い込んだ (が、解答者はその積りではない) か、
そこを取り違えても答えの値は変わらないので、解答者がミスに気づかなかったか
のどちらかでしょう。

補足

回答ありがとうございます。返信遅れてすみません。ANｏ.2さんのところに補足させていただいておりますのでご教授お願いします。

回答No.2

nag0720

ｎが２から始まっているからですね。

級数と言うときは、第１項からの和です。
つまり、
Ｓ（ｎ）＝Ａ（１）＋Ａ（２）＋・・・・＋Ａ（ｎ）
です。

ｎΣ(ｋ＝２) ｌｏｇ２｛１＋１/(ｋ＾２ー１）｝

この級数の項数はいくつですか？

ｋ＝２、３、４、・・・・、ｎ
（ｎ－１）個ですね。

だからＳ（ｎ－１）としています。

もう少し詳しく書くと、

数列Ａ（ｎ）で、
第１項を、ｌｏｇ２｛１＋１/(２＾２ー１）｝
とするためには、
Ａ（ｎ）＝ ｌｏｇ２｛１＋１/(（ｎ＋１）＾２ー１）｝
とする必要があります。

Ｓ（ｎ－１）＝Ａ（１）＋Ａ（２）＋・・・・＋Ａ（ｎ－１）
＝ｌｏｇ２｛１＋１/(２＾２ー１）｝＋ｌｏｇ２｛１＋１/(３＾２ー１）｝＋・・・・＋ｌｏｇ２｛１＋１/(ｎ＾２ー１）｝
＝ｎΣ（ｋ＝２）ｌｏｇ２｛１＋１/(ｋ＾２ー１）｝

補足

返信遅くなりすみません。早速ですが解答では
＞第ｎー１項までの部分和S（ｎー１）
と書かれています。この場合は
ｎー１Σ（ｋ＝２）ｌｏｇ２｛１＋１/(ｋ＾２ー１）｝
であって第２項から第ｎー１項の和であってS（ｎー２）になってしまうのではないかと思います。もし解答で
＞項数ｎー１個の部分和S（ｎー１）
という表現ならば理解できるのですがどう思われますか？

回答No.1

info22_

> ∞Σ(ｎ＝２)
式が見にくいので
Σ(ｎ＝２,∞), Σ(ｎ＝２→∞), Σ[ｎ＝２,∞], Σ[ｎ＝２→∞],
Σ[ｎ＝２～∞], Σ[ｎ＝２～∞]
などと書いた方が見やすいですね。

>なぜS（ｎ-１）＝n-1Σ(ｋ＝２) ｌｏｇ２｛１＋１/(ｋ＾２ー１）}ではないのですか？
結論から言えば、式を変形して導出される式が見やすくなるためでしょう。
質問者さんのように表現しても何も問題はないです。ただし変形してでてくる式の中で、
n+2,n+1と書くか、n+1,nと書くかの違いだけです。
結果には影響ありませんね。

[参考]
S(n-1)＝Σ[k=2,n-1] log[2] {1+(1/(n^2-1))}＝log[2]{1-(1/n)} +1
(ただし, n≧3)

Σ[n=2,∞] log[2] {1+(1/(n^2-1))}＝lim[k→∞] S(n-1)＝1

なお、log[2]　の [2] は対数の底です。

補足

回答ありがとうございます。返信遅れてすみません。ANｏ.2さんのところに補足させていただいておりますのでご教授お願いします。