expを含む無限等比？級数

質問

無限級数　Σ x^{2(n-1)} ・ exp(inθ)　　 [n=1~∞]
=exp(iθ)/{1-(x^2) ・exp(iθ)} ・・・(*)
となるそうなのですが、どのように計算すれば良いのでしょうか。x^nではなくx^{2(n-1)}の無限等比級数の形に更にexpも掛かっているので高校数学の公式を直接使えない...と思ったのですが、参考書の途中計算を見ると無限等比級数の公式a/(1-r)の式をそのまま使ってるようにも思えます。また、x^{2(n-1)}の中のx^(-2)の項はどのように計算したのでしょうか。

どなたかお願いします。

回答No.3

tetra_o · ベストアンサー

公比の見つけ方が分からないという感じですかね？

(何かの数)^(n-1)

みたいな形を作ることを目的にして式をいじれば見つけられます。指数をn-1にするわけですね。例えば、x^(2(n-1))なら指数法則によって(x^2)^(n-1)となりますし、exp(inθ)ならこれはexp(iθ)^n=exp(iθ)*exp(iθ)^(n-1)となりますね。よって、

Σ x^(2(n-1))*exp(inθ) = Σ exp(iθ)*(x^2*exp(iθ))^(n-1)

つまりこれは初項exp(iθ)、公比x^2*exp(iθ)の等比数列の級数ですから、

= exp(iθ)*(1-lim[k→∞](x^2*exp(iθ))^k)/(1-x^2*exp(iθ))

ここまでは計算したのですが|x|<1かなんかそんな条件がないですかね？それがあったらlim[k→∞](x^2*exp(iθ))^k)=0ですから、

= exp(iθ)/(1-x^2*exp(iθ))

が導けるのですが。
まあ、公比はxじゃなくてx^2*exp(iθ)とかにもなりうるってことですかね。

>また、x^{2(n-1)}の中のx^(-2)の項はどのように計算したのでしょうか。

これについては質問の意図がよく分かりませんでした…公比が分からないってことが根本の原因なら先の説明で納得していただけると思うのですが…

回答が的を射てなかったらすいません。

お礼

納得いきました。回答ありがとうございます。m(__)m

回答No.4

f272

n=1のときexp(iθ)
n=2のときx^2*exp(2iθ)
n=3のときx^4*exp(3iθ)
と考えていけば
初項がexp(iθ)で公比がx^2*exp(iθ)の無限級数です。高校生のときに習った公式が使えるでしょう。

回答No.2

bran111

Ｌ＝Σ x^{2(n-1)} ・ exp(inθ)=(1/x^2)Σ x^{2n)・e^(inθ)
=(1/x^2)Σ[x^2・e^(iθ)]^n
これは公比x^2・e^(iθ)の等比級数の和である。
=(1/x^2)x^2e^(iθ){1-[x^2・e^(iθ)]^n}/{1-x^2・e^(iθ)}
=e^(iθ){1-[x^2・e^(iθ)]^n}/{1-x^2・e^(iθ)}
|x^2・e^(iθ)|=x^2<1 の条件のもとに
Ｌ＝exp(iθ)/{1-x^2・exp(iθ)}

回答No.1

trytobe

通称「オイラーの公式」(で一番有名な式) で、自然対数の底(ネイピア数)の虚数乗は三角関数に対応する、というのを活かして、三角関数での無限級数に書き換えてみてはいかがですか。

e^(i θ) = cosθ + i sinθ

特に、θ＝π のとき e^(iπ) = -1 [オイラーの等式] として、円周率とネイピア数と虚数単位元と実数(自然数)単位元、が統合されるというので有名な式。

オイラーの公式 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F