無限等比級数

質問

初項1、公比a/3の無限等比級数が収束するようなaの値を求めよ。また、そのとき、和Sのとりうる値の範囲を求めよ。という問題で、aの範囲はわかるのですが、和Sの範囲がよくわかりません。どうやって解くのかおしえてください。
ちなみに答えはS>1/2になります。

回答No.4

chiropy · ベストアンサー

n項目までの和は
S=Σ(a/3)^(k-1) [k=1～n]
=1*{1-(a/3)^n}/(1-a/3)}

収束するためには
｜a/3｜＜1
⇔｜a｜＜3
⇔-3＜a＜3

この時
lim S [n→∞] = 1/{1-(a/3)} = 3/(3-a)
S = 3/(3-a)
⇔(3-a)S = 3
⇔3S -aS = 3
⇔aS = 3S - 3
⇔a = 3- 3/S
よって
-3 < 3 - 3/S < 3
⇔ -6 < -3/S < 0
⇔ 6S > 3 > 0
⇔ S > 1/2

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。

回答No.3

mister_moonlight

＞aの範囲はわかるのですが、和Sの範囲がよくわかりません。どうやって解くのかおしえてください。

途中まで分かってるんだから、丸投げではない。

条件より、｜a｜＜3　‥‥(1)
Ｓ＝3/（3-a）、従って、3-a＝3/Ｓ　‥‥(2).　後は、(2)を(1)に代入して、不等式を解くだけ。

回答No.2

arrysthmia

丸投げは違反ですよ…

r = a/3 と置きます。
-1 < r < 1 のとき、S = 1 / (1 - r) の範囲を求める
問題ですね。反比例のグラフは書けますか？

回答No.1

masa072

S=1/(1-(a/3))=3/3-a>3/3-(-3)=1/2
(-3<a<3より，0<3-a<6)