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無限級数

無限級数 1+x(1-x)+(x^2)(1-x)^2+・・・ が収束するとき (1)xの値の範囲を求めよ。 (2)この無限級数の和Sの値の範囲を求めよ。 この問題なんですが (1)は 公比r=x(1-x) 収束するということは  |r|<1 だから x(1-x)<1で -x^2+x-1<0 x^2-x+1>0  となり とやっていたんですがどうやら答えが違うようなので おねがいします。 (2)はわかりません。

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  • rabbit_cat
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回答No.2

>|r|<1 だから >x(1-x)<1で |x(1-x)|<1 ですよ。両辺2乗して解くか(4次不等式)、もしくは、 0≦x(1-x) かつ x(1-x) < 1 または、 x(1-x)≦0 かつ x(1-x) > -1 として解くかですね。

その他の回答 (4)

  • kkkk2222
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回答No.5

#4です。訂正します。 ーーー 誤 ((x-(1/2))^2)+(3/4)>(3/4) (3/4)<(x^2)ーx+1<2 4/3>1/((x^2)ーx+1)>1/2  1/2<S<4/3 ーーー 正 ((x-(1/2))^2)+(3/4)≧(3/4) (3/4)≦(x^2)ーx+1<2 4/3≧1/((x^2)ーx+1)>1/2  1/2<S≦4/3

  • kkkk2222
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回答No.4

ーーー >>  x(1-x)<1 >>  x^2-x+1>0 絶対値をはずすとき、 ー1<x(1-x)<1 ー1<x-(x^2)<1 (x^2)ーx-1<0、かつ、0<(x^2)ーx+1 と後半は完成しています。 (#1) (x^2)ーx+1>0 は xは任意(全てxがOK)。 (#2)  (x^2)ーx-1<0 (1-√5)/2<x<(1+√5)/2 (#1)かつ(#2)なので、 xの範囲は、(1-√5)/2<x<(1+√5)/2 ーーー >>無限級数の和Sの値の範囲を求めよ。 >>公比r=x(1-x) 無限級数の和S は、 初項=1 公式、A/(1-R)を使用して、 S=1/(1-x(1-x)) =1/((x^2)ーx+1) ーーー  範囲は、 (x^2)ーx-1<0 より、 (x^2)ーx-1+2<0+2 (x^2)ーx+1<2 また、 (x^2)ーx+1>0より、 ((x-(1/2))^2)+(3/4)>(3/4) (3/4)<(x^2)ーx+1<2 4/3>1/((x^2)ーx+1)>1/2  1/2<S<4/3 とはなりますが。 ーーー

noname#47975
noname#47975
回答No.3

>|r|<1 だからx(1-x)<1で ここが違うと思います。 |r| < 1だから、|x(1-x)| < 1になります。 絶対値を勝手に外してはなりません…。 さらに、 |x(1-x)| < 1より、 -1 < x(1-x) < 1となり、 上記不等式を分解すれば、 x(1-x) < 1  (1) x(1-x) > -1 (2) (1)(2)の連立不等式となり、それらに共通する範囲を求めればよい と思います。 (2)についてですが、 Sn= 1 + {x(1-x)}^2 ..... + {x(1-x)}^nとおきます。 左辺を計算すると、{(x(1-x))^(n+1) - 1}/{(x(1-x))-1} となり、 無限級数が収束する場合は、|x(1-x)| < 1より lim[x→∞]{x(x-1)}^(n+1) = 0となり、そして、 S=lim[n→∞]Sn = 1/{x(1-x)-1}となります。 後は、(1)で求めたxの範囲から、1/{x(1-x)-1}、 すなわちSの取り得る範囲を求めればよいだけです。

回答No.1

この問題の解答は分かりませんが、参考URLのサイトに質問すると、すぐに教えてくれますよ。 参考URLのほうが数学関係者が多いので、解答も確実なものです

参考URL:
http://www1.ezbbs.net/17/yosshy/

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