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無限等比級数

無限等比級数 1/x + 1/x(1 - 1/logx) + 1/x(1 - 1/logx)^2 + 1/x(1 - 1/logx)^3 + ・・・ この級数が収束するためのxの範囲をもとめよ、またそのときの 和を求めよという問題がありました。ただし　e　は自然対数logXの底である。 xの範囲は、 √e < x でよろしいでしょうか。 あっているかどうか、どなたか教えていただけないでしょうか。 人に聞かれて解答に、どうも自信がありません。

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  • 回答No.2
  • oodaiko
  • ベストアンサー率67% (126/186)

これは 1/x × Σ_{n=0}^{∞} (1 - 1/log x)^n の意味ですね？ （ (1 - 1/log x)^n は分母ではなく1/xの係数ですね？） そしてxは実数の範囲で考えるのですね？ それなら √e < x でＯＫです。 1 - 1/log x = r とおくと無限等比級数の収束条件は |r|< 1ですから、収束条件は -1 < 1 - 1/log x < 1 となります。 すなわちこの級数は 0 < 1/log x ……(1) 1/log x < 2 ……(2) の2つの条件を満たすxで収束します。 (1)の条件を満たすためには 1 < x が必要です。 (2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。 従って(1)と(2)の両方の条件を満たすためには max{1,√e} = √e < x が必要です。

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  • 回答No.4
  • oodaiko
  • ベストアンサー率67% (126/186)

finetoothcombさん。 ＞(2)の条件を満たすためには 「x < 1 または　√e < x」 が必要です． ＞の誤りでないでしょうか？ おっしゃるとおりです。f(^^;; 失礼しました。

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  • 回答No.3

oodaikoさんの回答に関して、 (2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。 とあるのは、 (2)の条件を満たすためには 「x < 1 または　√e < x」 が必要です． の誤りでないでしょうか？　いずれにしても、最終結果は同じになりますが．自分の勉強のためにコメントしました．結果を自力で得ている質問者の疑問も、本来的にはそのあたりにあるのでは、と思ったもので．

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  • 回答No.1

自信はありませんが、計算したらあなたと同じ答えになりました。

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