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無限等比級数

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お礼率 8% (9/103)

無限等比級数

1/x + 1/x(1 - 1/logx) + 1/x(1 - 1/logx)^2 + 1/x(1 - 1/logx)^3 + ・・・

この級数が収束するためのxの範囲をもとめよ、またそのときの
和を求めよという問題がありました。ただし e は自然対数logXの底である。

xの範囲は、 √e < x でよろしいでしょうか。
あっているかどうか、どなたか教えていただけないでしょうか。
人に聞かれて解答に、どうも自信がありません。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 67% (126/186)

これは
1/x × Σ_{n=0}^{∞} (1 - 1/log x)^n
の意味ですね?
( (1 - 1/log x)^n は分母ではなく1/xの係数ですね?)
そしてxは実数の範囲で考えるのですね?
それなら √e < x でOKです。

1 - 1/log x = r とおくと無限等比級数の収束条件は
|r|< 1ですから、収束条件は

-1 < 1 - 1/log x < 1
となります。
すなわちこの級数は
0 < 1/log x ……(1)
1/log x < 2 ……(2)
の2つの条件を満たすxで収束します。

(1)の条件を満たすためには 1 < x が必要です。
(2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。

従って(1)と(2)の両方の条件を満たすためには
max{1,√e} = √e < x が必要です。
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 20% (64/308)

自信はありませんが、計算したらあなたと同じ答えになりました。
自信はありませんが、計算したらあなたと同じ答えになりました。


  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 30% (25/81)

oodaikoさんの回答に関して、 (2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。 とあるのは、 (2)の条件を満たすためには 「x < 1 または √e < x」 が必要です. の誤りでないでしょうか? いずれにしても、最終結果は同じになりますが.自分の勉強のためにコメントしました.結果を自力で得ている質問者の疑問も、本来的にはそのあたりにあるのでは ...続きを読む
oodaikoさんの回答に関して、

(2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。

とあるのは、

(2)の条件を満たすためには 「x < 1 または √e < x」 が必要です.

の誤りでないでしょうか? いずれにしても、最終結果は同じになりますが.自分の勉強のためにコメントしました.結果を自力で得ている質問者の疑問も、本来的にはそのあたりにあるのでは、と思ったもので.
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 67% (126/186)

finetoothcombさん。 >(2)の条件を満たすためには 「x < 1 または √e < x」 が必要です. >の誤りでないでしょうか? おっしゃるとおりです。f(^^;; 失礼しました。
finetoothcombさん。
>(2)の条件を満たすためには 「x < 1 または √e < x」 が必要です.
>の誤りでないでしょうか?

おっしゃるとおりです。f(^^;;
失礼しました。
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