数学（iii）の極限について

質問

数学（iii）の極限について

教科書の極限を予習しているのですが、よく分からないところがありました。

例題で次の定数a , b を求めよ。という問題です。
問題がみにくくてすみません。分数の場合 lim は全部に = の前まで全てにかかっていると考えてください。できるだけ、縦でそろえていますが・・

lim　　a√x + b
x→1 -------- = 2
　　　　　x - 1

という問題で、考え方として、
ｘ→１のとき（分母）→０であるから、与えられた極限値が存在するためには、ｘ→１のとき（分子）→０でなければならない。

とあり、次に解き方が書いてあります。

lim　　a√x + b
x→1 -------- = 2
　　　　　x - 1

において、lim(x - 1) = 0　であるから ・・・・・・・・・・・（１）
　　　　　　x→1

lim(a√x + b) = 0　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
x→1

とありますが、ここが全く分かりません。どうして、（１）だから（２）なのでしょうか？
ですから、上の示した考え方のところから全く分かりません。
できるだけわかりやすく教えてくださるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞他のがダメだからこれっていうのは少し納得しがたい感じがするんです
そうですね。この内容だけだと、必要条件しか考えていないことになります。
「少なくとも (分子)→ 0になっていないといけない」ということだけです。

全体が 2に収束することと合わせて求めた a, bに対して、
十分条件として問題の式が成り立つこと（2に収束すること）を示しておかないといけませんね。

お礼

なるほど・・それだと少し理解できる気が・・・
極限って難しいですね・・

ありがとうございました！

回答No.2

alice_44

極限の積に関して、
lim[x→c] f(x) と lim[x→c] g(x) が、どちらも収束するならば、
lim[x→c] f(x)・g(x) も収束して、
値は =(lim[x→c] f(x))・(lim[x→c] g(x)) である
という定理があり、よく知られています。

よって、
lim[x→1] (a√x + b)/(x-1) = 2 と lim[x→1] (x-1) = 0 とから
lim[x→1] { (a√x + b)/(x-1) }・(x-1) = 2・0 です。

お礼

なるほど、確かに教科書にもその性質が乗っていました！

これのやり方だと分母の(x - 1)が消えるので、結構納得できました。
ありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

一見、なんで？と思ってしまうところですね。＾＾
こういうときは、逆のことを考えてみましょう。

lim[x→ 1](a√x + b) = 0に「ならない」としたら、
全体では(なんとか)/0の形になって、このままでは発散（±∞になる）してしまいます。
つまり、有限確定値（いまの問題では「2」）をとることができなくなります。

こうならないためには、（分子）も 0に収束しないといけないということになるのです。

お礼

確かに逆を考えるとそのようになってしまいますね。
それも一度は考えたのですが、それだとどうして、０に収縮したら極限値が２になるかが分からなかったんですよね・・

もうこれは概念的な問題になってくるんでしょうか・・？
他のがダメだからこれっていうのは少し納得しがたい感じがするんです