積分が分かりません・・・。

質問

下の問題が分かりません。
問題数多いですが、、、よろしくお願いします。
本当に自分がばかすぎて困っています。
よろしくお願いします。

(1) ∫sin^2Xcos^3Xdx
(2) ∫（0→２）√（２－X）dx
(3) ∫（0→１）1／（√（４―X＾２）dx
(4) ∫（0→√３）１／（１＋X＾２）dx
(5) ∫（0→π／２）Xsin^2Xdx
(6) ∫(0→４)X＾２／（X+１）dx
(7) ∫（0→π／２）sin＾６Xdx
(8) ∫（0→π／２）sin＾３Ｘcos＾２Xdx
(9) ∫（0→π／２）cos＾７Xdx

回答No.5

ririnnnohitori

(1),(8)は置換積分法
∫ｆ（φ（ｘ）φ＾（１）（ｘ）ｄφ＝∫ｆ（ｔ）　（ｔ＝φ（ｘ））
を用いて解き
（４）は公式そのまま使用　アーク～の微分が１／（１＋X＾２）
（５）は部分積分法
（７）、（９）は　∫（0→π／２）sin＾ｎXdx＝(n-1)/n×(n-3)/(n-2)×…×3/4×1/2（×π/2)　という（我が学校では）公式を習ったのならばこれを使用して、何それという場合は地道に部分積分法で解いてください。この公式はsinがcosに変わっても答えはいっしょ（証明してみて下さい）
またこの公式の（×π/2）はnが偶数の時で奇数の時は（×π/2）の部分は要らないです。
　こういう計算はこつさえつかめばなんとかなるので問題を解きまくって頑張ってみてください。

回答No.4

wolv

(7) ∫（0→π／２）sin＾６Xdx

sin^6 x = sin x × sin^5 x と見なして部分積分を使うと

∫sin^6 x dx
＝ ∫sin x sin^5 x dx
＝ -cos x sin^5 x -∫(-cos x)(5 sin^4 x cos x) dx

第２項は、
-∫(-cos x)(5 sin^4 x cos x) dx
＝ 5 ∫cos^2 x sin^4 x dx
＝ 5 ∫(1 - sin^2 x) sin^4 x dx
＝ 5 ∫(sin^4 x - sin^6 x)dx
＝ 5 ∫sin^4 x dx - 5 ∫sin^6 x dx

よって、
∫sin^6 x dx ＝ -cos x sin^5 x + 5 ∫sin^4 x dx - 5 ∫sin^6 x dx

6∫sin^6 x dx ＝ -cos x sin^5 x + 5 ∫sin^4 x dx
∫sin^6 x dx ＝ -1/6 cos x sin^5 x + 5/6 ∫sin^4 x dx

さらに、∫sin^4 x dx を求めます。
∫sin^4 x dx
＝ ∫sin x sin^3 x dx
＝ -cos x sin^3 x -∫(-cos x)(3 sin^2 x cos x)dx
＝ -cos x sin^3 x +3∫cos^2 x sin^2 x dx
＝ -cos x sin^3 x +3∫(1-sin^2 x) sin^2 x dx
＝ -cos x sin^3 x +3∫sin^2 x dx - 3∫sin^4 x dx
よって、
4∫sin^4 x dx = -cos x sin^3 x +3∫sin^2 x dx
∫sin^4 x dx = -1/4 cos x sin^3 x +3/4 ∫sin^2 x dx

ここまでをまとめると、

∫sin^6 x dx
＝ -1/6 cos x sin^5 x + 5/6 (-1/4 cos x sin^3 x +3/4 ∫sin^2 x dx)
＝ -1/6 cos x sin^5 x - 5/24 cos x sin^3 x + 5/8 ∫sin^2 x dx

あとは、sin^2 x の積分と、積分範囲を代入して値を求めるだけです。

計算結果、あまり自信ありません＾＾；

回答No.3

wolv

とりあえず、ヒント書いておきます。

(2) ∫（0→２）√（２－X）dx

　合成関数の積分で、２－ｘを固まりとみなして積分

(3) ∫（0→１）1／（√（４―X＾２）dx

定数－ｘ＾２ の形は、sinかcosにおくとよいでしょう。

　この場合は、ｘ＝２sinθとおけば、
1／（√（４―X＾２）
＝1／（√（４―（２sinθ）＾２）
＝1／（２√（１―sin^2 θ）)
＝1／（２√（cos^2 θ）)
＝1／（２｜cos θ｜）

積分範囲に注意しましょう。

1/cosθ の積分は、とりあえず参考書などを見てください。

この問題は、他にいい解法があるかもしれません。

(4) ∫（0→√３）１／（１＋X＾２）dx

定数＋ｘ＾２ の場合は、tanθを使うと、いい形に直せます。

この場合、ｘ＝tanθとおくと、
１／（１＋X＾２）
＝1/(1 + tan^2 θ)
＝cos^2 θ / (cos^2 θ + sin^2 θ)
＝cos^2 θ / 1
＝cos^2 θ

これなら、とけるはずです。

積分範囲に注意しましょう。

(5) ∫（0→π／２）Xsin^2Xdx

部分積分をつかってｘを消しましょう。

(6) ∫(0→４)X＾２／（X+１）dx

ｘが分母だけ、ｘが分子だけ、ｘがない、という複数の項にわけましょう。
その形なら積分できる（あるいは、積分しやすい）はずです。

ｘ＾２／（ｘ＋１）
＝ ｘ ＋ １ ＋ １／（ｘ＋１）

この各項は、ｘで積分するのは簡単なはずです。

ｘ＾２／（ｘ＋１）を分解するのは、筆算のようにすると簡単です。つまり、

　　　　　ｘ　　　－１
　　　　―――――――――――
　ｘ＋１）ｘ＾２
　　　　　ｘ＾２　＋ｘ
　　　　―――――――――――
　　　　　　　　　－ｘ
　　　　　　　　　－ｘ　－１
　　　　　　　　―――――――
　　　　　　　　　　　　１

とやるわけです。

あと、

(1) ∫sin^2Xcos^3Xdx
(8) ∫（0→π／２）sin＾３Ｘcos＾２Xdx

(7) ∫（0→π／２）sin＾６Xdx
(9) ∫（0→π／２）cos＾７Xdx

が残ってます（＾＾；

回答No.2

larry

＞ばかすぎて困っています。

いや、それは親兄弟や先生のセリフです。

わからないからばかなのではなく
考えようとしないからばかなんです。

なんでも卑下すればいいというものではありませんよ。
ちょっとカチンときたので書かせてもらいました。

問題を書き写すヒマがあれば
調べてみればいいのに。

回答No.1

wolv

問題集や参考書など、見てみましたか？

ここで回答を書いてもいいですが、まずは、参考書などに書いてあるのと同じか、それ以下のことしか書けないと思います。参考書などの内容が理解できないようなら、ここに書いた回答も理解できないはずなので、とにかく、参考書などを見てみることをお勧めします。

それでもわからなければ、参考書にはどう書いてあって、その、どの部分がわからない、ということを具体的に補足してみてください。

また、どの参考書をみたらいいのかわからない、ということであれば、そう補足してみてください。