定積分

質問

以下の問題教えてください　定積分の値を求めよ
1.∫[π/2] sin^(7)xcos^(2)x dx 上端にπ/2 下端に0です
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2.∫[2π] sin^(6)x/4 dx　　　　　　上端に2π　下端に０です
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回答No.1

info222_ · ベストアンサー

1.
I=∫[0,π/2] sin^7(x)cos^2(x) dx
積分の式の書き方を覚えて下さい。

cos(x)=tとおくと　sin(x)dx=dt
x:[0,π/2] ⇒ t:[1,0]
I=∫[1,0] (1-t^2)^3*t^2 dt
=∫[0,1] (t^2-1)^3*t^2 dt
=∫[0,1] (t^6-3t^4+3t^2-1)*t^2 dt
=∫[0,1] (t^8-3t^6+3t^4-t^2) dt
=[t^9/9-3t^7/7+3t^5/5-t^3/3] [0,1]
=(1/9)-(3/7)+(3/5)-(1/3)
=-16/315 ←　（答）

2.
I=∫[0,2π] sin^6 (x)/4 dx
I=∫[0,2π] sin^6 (x/4) dx

どちらの積分ですか？

補足

分かりにくくてすいませんでした。
前者の方です。

回答No.2

transcendental

sin（ｘ）＝ｓ、cos（ｘ）＝ｃ　と略記します。
１．∫[0 to pi/2]ｓ＾ｎ・ｄｘ＝I（ｎ）と書くことにします。

（与式）＝∫[0 to pi/2]ｓ＾７・ｃ＾２・ｄｘ
＝∫[0 to pi/2]｛ｓ＾７－ｓ＾９｝ｄｘ＝I（７）－I（９）＝（６/７）（４/５）（２/３）・１－（８/９）（６/７）（４/５）（２/３）・１＝（６/７）（４/５）（２/３）｛１－８/９｝
＝（６/７）（４/５）（２/３）｛１/９｝＝１６/３１５．

２・
∫[0 to 2pi]｛ｓin（ｘ/４）｝＾６・ｄｘ　と解釈します。（数式は「誤解のないように」記述してください）
ｘ/４＝φとおくと、
（与式）＝４・I（６）＝４・（５/６）（３/４）（１/２）（π/２）＝５π/８．