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定積分

以下の問題教えてください　定積分の値を求めよ 1.∫[π/2] sin^(7)xcos^(2)x dx 上端にπ/2 下端に0です [0] 2.∫[2π] sin^(6)x/4 dx　　　　　　上端に2π　下端に０です [0]

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  • info222_
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回答No.1

1. I=∫[0,π/2] sin^7(x)cos^2(x) dx 積分の式の書き方を覚えて下さい。 cos(x)=tとおくと　sin(x)dx=dt x:[0,π/2] ⇒ t:[1,0] I=∫[1,0] (1-t^2)^3*t^2 dt =∫[0,1] (t^2-1)^3*t^2 dt =∫[0,1] (t^6-3t^4+3t^2-1)*t^2 dt =∫[0,1] (t^8-3t^6+3t^4-t^2) dt =[t^9/9-3t^7/7+3t^5/5-t^3/3] [0,1] =(1/9)-(3/7)+(3/5)-(1/3) =-16/315 ←　（答） 2. I=∫[0,2π] sin^6 (x)/4 dx I=∫[0,2π] sin^6 (x/4) dx どちらの積分ですか？

wakatyu1
質問者

補足

分かりにくくてすいませんでした。 前者の方です。

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その他の回答 (1)

回答No.2

sin（ｘ）＝ｓ、cos（ｘ）＝ｃ　と略記します。 １．∫[0 to pi/2]ｓ＾ｎ・ｄｘ＝I（ｎ）と書くことにします。 （与式）＝∫[0 to pi/2]ｓ＾７・ｃ＾２・ｄｘ ＝∫[0 to pi/2]｛ｓ＾７－ｓ＾９｝ｄｘ＝I（７）－I（９）＝（６/７）（４/５）（２/３）・１－（８/９）（６/７）（４/５）（２/３）・１＝（６/７）（４/５）（２/３）｛１－８/９｝ ＝（６/７）（４/５）（２/３）｛１/９｝＝１６/３１５． ２・ ∫[0 to 2pi]｛ｓin（ｘ/４）｝＾６・ｄｘ　と解釈します。（数式は「誤解のないように」記述してください） ｘ/４＝φとおくと、 （与式）＝４・I（６）＝４・（５/６）（３/４）（１/２）（π/２）＝５π/８．

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