定積分について

質問

定積分について解からないところがあります。

　2
∫　｜2x^2 -1| dx　
　0
これの絶対値符号のはずし方が解かりません。
絶対値符号をはずすと、下端と上端の数字が変わるのにものすごく悩まされます。

教えてください。

回答No.3

info22

2x^2 -1=0の時
x=±1/√2
積分範囲0≦x≦2では
0≦x≦1/√2で｜2x^2 -1| =1-2x^2
x≧1/√2で｜2x^2 -1| =2x^2 -1
ですから
∫[0,2]｜2x^2 -1| dx　
=∫[0,1/√2]（1-2x^2) dx +∫[1/√2,2]（2x^2 -1) dx　
=[x-(2/3)x^3] [0,1/√2] + [(2/3)x^3 -x] [1/√2,2]
=(1/√2){1-(1/3)} + (16/3)-2 -(1/√2){(1/3)-1}
=(10/3)+(1/√2)(4/3)
=2(5+√2)/3
となります。

# #2さんのA#2の場合分けの境界のx=√2はケアレスミスですね。
x=1/√2が正しいですね。

お礼

ありがとうございますありがとうございます！
絶対値符号のはずし方が解かりました。

回答No.2

beatman

絶対値記号が付いているということは
・正の値はそのまま
・負の値は正になおす
ということですね。

2x^2-1=(x+√2)(x-√2)/2 , 0≦x≦2　より
2x^2-1≧0　のｘの範囲　は
√2≦x≦2
2x^2-1＜0　のｘの範囲　は
0≦x≦√2
よって
　　　　2　　　　　　　　√2
与式=∫(2x^2-1)dx - ∫(2x^2-1)dx
　　　　√2　　　　　　　0

となります。

回答No.1

pocopeco

2x^2 -1　が正になる範囲で、　2x^2 -1　を積分　
2x^2 -1　が負になる範囲で、　－(2x^2 -1)　を積分　

の和です。