定積分

質問

定積分では積分区間が指定されていますが、∫の上端、下端の数値の関係は

上端＞下端、下端＞上端

どちらの関係に成ってもいいんでしょうか？

定積分において置換した際に上端と下端が、数値の対応の関係で、下端＞上端になるのですが、積分においてあくまで範囲を指定しているので気にすることではないのでしょうか？

上端下端を入れ替えて∫の前にマイナス符号をつければ、上端＞下端の関係になりますが・・・

自分でもなぜここが気になっているのかわかりませんが、考えれば考えるほどわかりません。

モヤモヤが晴れる様な回答を待っています。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>定積分では積分区間が指定されていますが、∫の上端、下端の数値の関係は

>上端＞下端、下端＞上端

>どちらの関係に成ってもいいんでしょうか？

その定積分だけを考える場合はどちらの関係でも構いません。
ただし、定積分では、積分する区間の境のどちらを積分の上限にし、下限にするかに注意しないといけません。とくに定積分が、積分の結果の正負が問題になる面積や体積に関係付けられている場合には、面積や体積が正となるよう、定積分の上限と下限を決めないといけません。定積分自体は正にも負にもなるので、面積や体積が正となるように、積分の[下限,上限]を決めないといけません。
通常は積分変数の値の小さい方を積分の下端、大きい方を積分の上端にします。面積や体積を求める場合は、被積分関数が正になるよう符号を調整します。
面積や体積とは関係なく、定積分そのものだけを計算する場合（積分結果の正負は問題にならない場合）は、積分の上端と下端の大小関係は気にする必要はないですね。

>定積分において置換した際に上端と下端が、数値の対応の関係で、下端＞上端になるのですが、積分においてあくまで範囲を指定しているので気にすることではないのでしょうか？

正しく置換積分している限り、積分の下限の上限の大小関係が入れ替わっても問題ありません。

>上端下端を入れ替えて∫の前にマイナス符号をつければ、上端＞下端の関係になりますが・・・

これもそのとおり、正しいです。

例1
f(x)=cos(x)の区間[π/2～π]の面積S
区間内ではf(x)≦0なので
S=∫[π/2→π]　-f(x) dx
となります。

例2
f(x)=cos(x)-1の区間[0～π/2]の面積S
区間内ではf(x)≦0なので
S=∫[0→π/2]　-f(x) dx
となります。

例3
f(x)=1/(2+cos(x))の区間[0～π/2]の面積S
S=∫[0→π/2] f(x)dx
cos(x)=tと置換積分する場合
　-sin(x)dx=dt
　x:[0→π/2]　⇒ t:[1→0]
　sin(x)=√(sin^2(x))=√(1-cos^2(x))=√(1-t^2)
　dx=-dt/√(1-t^2)
なので
S=∫[1→0] -1/((2+t)√(1-t^2)) dt
積分の下端>上端となりますが、入れ替えると
　=∫[0→1] 1/((2+t)√(1-t^2)) dt
と負号が被積分関数の負号と相殺して下端<上端の定積分に変形できます。