定積分 の応用

質問

∫√(a^2-x^2)dx (下端0 上端a ) a>0
独学で定積分をやってます。定積分の置換積分法の例題で↑の問題が出てきました。他の置換積分法とやり方が少し違っているようでやり方が理解できません。この問題ってどういうことなんでしょうか?(解答持ってます)

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

三角関数の公式「(sinθ)^2+(cosθ)^2=1」を利用すれば
√(a^2-x^2)の√をなくすことができます。
つまり
x=a sin(t)(0≦x≦a,0≦t≦π/2)とおけば
x:0→a(a>0) ⇒ t:0→π/2
dx=a cos(t)dt
(√(a^2-x^2))={√(a^2-a^2(sin(t))^2)}
=a√(1-(sin(t))^2)=a cos(t)

(√(a^2-x^2))dx=a^2*(cos(t))^2 dt
=(1/2)(a^2)*2(cos(t))^2 dt
=(1/2)(a^2)*(1+cos(2t)) dt

以上から
∫[0→a]√(a^2-x^2)dx
=(1/2)a^2∫[0→π/2](1+cos(2t)) dt
=(1/2)(a^2)*[t+sin(2t)/2][0→π/2]
=(1/2)(a^2)*(π/2)
=π(a^2)/4
これは半径aの円の面積の(1/4)ですね。

積分はこれで終りですが、
以下のURLの類似の置換積分法をまとめて覚えておくといいですね。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/chikannsekibunn/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/chikannsekibunn/chikanhouhou.html

回答No.4

alice_44

被積分関数の中に現れた部分式 = 別の変数 と置く方法には慣れたが、
積分変数 = 別の変数の関数 と置く方法はピンと来ないということ？
練習して慣れるしかないでしょうね。
どちらかというと、積分変数 = 別の変数の関数 のほうが、
置換積分の基本形です。公式としては、多くの場合、
∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt と書いてあるじゃありませんか。
この x = g(t) が、積分変数 = 別の変数の関数 ですよ。
こっちの方法で置換する場合、f(g(t)) g'(t) が f(x) よりも
簡単な式になるように g(t) を見つけなければならないので、
どのような置換がウレシイ結果になるか、経験というか、慣れが必要です。
今回の場合、x = a sinθ と置けば、√(a^2-x^2) = a cosθ となり、
面倒くさそうな √ が消えてウレシイという訳です。
√(a^2-x^2), √(a^2+x^2), √(x^2-a^2) を含む式の置換積分は、
頻繁に使うパターンですから、この機会に覚えておくとよいでしょう。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

naniwacchi

#1です。

高校数学の範囲が前提となりますが。
確かにいきなり x＝ a* sinθが出てきて、違和感がありますね。

このときのθがグラフ（図）でどの「角度」に相当するかわかりますか？
そして、√(a^2- x^2)＝ a* cosθはどのような「長さ」を表していますか？

ということを考えていくと、円の面積に置き換えて考えることができます。

応用としては、積分区間を変えた以下のようなものもあります。
∫[0→a/2] √(a^2- x^2) dx

この積分の不定積分は逆三角関数を含むものになっていて、高校数学の範囲は超えてしまいます。
上の応用も sinθ＝ 1/2となるθが簡単に求められるので、計算できるものとなります。

お礼

やっと理解できました！
ありがとうございました

回答No.1

naniwacchi

まずは、y＝ √(a^2- x^2)のグラフを描いてみては？

補足

半円でした。
今まで~~~~=tと置いてxとtの対応は~~~
とかやってたのにこの問題はx=asinθ と置いて~~~
とかやり方が変わっててよくわからないです