大学の定積分について

質問

以下の問題がわかりません、解答お願いします<(_ _)>

・次の定積分を求めよ。(n∊N)
１）∫[-1,1]｛(3-x^2)(1-x^2)^(1/2)｝dx
２）∫[0,2a]{(2ax-x^2)^(1/2) }dx (ただしa>0)
３）∫[0,1]{(1-x^2)^n} dx
４）∫[0,1]{x^(2n+1)(1-x^2)^n} dx

解答は答えだけでなく計算過程もよろしくお願いします！

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

いずれもベータ関数に帰着する定積分で、基本公式を使えば簡単に求められます。

１）(3-x^2)は展開して、被積分関数が偶関数であることを利用してください。
２）適当な変数変換を行って積分区間を[0,1]にしてください。
３）と４）そのまま基本公式を利用してください。

回答No.2

info22_

１）だけやっておきますので参考にされたし。
大学数学は自力努力が要求されます。
（分かる範囲で解答を作成しそれを書いて分からない箇所だけ質問するように）。
２）はx+a=sin(u)で置換積分、３）、４）のnの説明がないですが
定義しておくべきかと…。

１）
I=∫[-1,1]｛(3-x^2)(1-x^2)^(1/2)｝dx
=2∫[0,1]｛(3-x^2)(1-x^2)^(1/2)｝dx
x=sin(u)で置換積分する
|x|≦1なので 0≦u≦π/2, dx=cos(u)du
I=2∫[0,π/2] {3-sin^2(u)}cos^2(u)du
=∫[0,π/2] 6cos^2(u)-2sin^2(u)cos^2(u)du
=∫[0,π/2] 3+3cos(2u)-(1/2)sin^2(2u)du
=∫[0,π/2] 3+3cos(2u)-(1/2)+(1/2)cos^2(2u)du
=∫[0,π/2] 3+3cos(2u)-(1/2)+(1/4)+(1/4)cos(4u)du
=∫[0,π/2] 11/4+3cos(2u)+(1/4)cos(4u)du
=∫[0,π/2] (11/4)du
=11π/8

２）以降は#1さんのヒントで自力でやってみて下さい。