定積分 絶対値

質問

f(x)=e^-x *cosx
とするとき
∫|f(x)|dxの解き方を教えてください
積分範囲はnπ→(n+1)πです。
∫f(x)=1/2 (e^-x *sinx+e^-x *cosx)はわかってます。
答えは
1/2｛(2e^-π/2) +1 -e^-π｝e^-nπでした。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

場合分けをするだけです．ちょっとグラフを書いてみればすぐわかることですが
cos(x) ≧ 0 if x ∈ [(n - 1/2)π, (n + 1/2)π] & n: 偶数
cos(x) ≦ 0 if x ∈ [(n - 1/2)π, (n + 1/2)π] & n: 奇数
です．exp(-x) > 0 は常に成り立つので |f(x)| の積分はふたつの区間[nπ, (n + 1/2)π]と[(n + 1/2)π, (n + 1)π]の積分の和に書きなおしたあと，それぞれ n の偶奇に応じて絶対値を外せばOKです．

ちなみに不定積分は1/2 (sinx + cosx) exp(-x)じゃなくて1/2 (sinx - cosx) exp(-x) の間違いだと思いますよ．

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m