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定積分 絶対値
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場合分けをするだけです．ちょっとグラフを書いてみればすぐわかることですが cos(x) ≧ 0 if x ∈ [(n - 1/2)π, (n + 1/2)π] & n: 偶数 cos(x) ≦ 0 if x ∈ [(n - 1/2)π, (n + 1/2)π] & n: 奇数 です．exp(-x) > 0 は常に成り立つので |f(x)| の積分はふたつの区間[nπ, (n + 1/2)π]と[(n + 1/2)π, (n + 1)π]の積分の和に書きなおしたあと，それぞれ n の偶奇に応じて絶対値を外せばOKです． ちなみに不定積分は1/2 (sinx + cosx) exp(-x)じゃなくて1/2 (sinx - cosx) exp(-x) の間違いだと思いますよ．
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