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（数II）定積分の問題について。
問、次の3つの等式を満足する２次関数f(ｘ)を求めよ。 ∫[-1→1]ｆ(x)dx＝1 ∫[-1→1]xｆ(x)dx＝0 ∫[-1→1]x^2ｆ(x)dx＝1 ・・・・・・・・・・という問題で、 ｆ(x)＝ax^2+bx+c （ただし、aキ0) とおいて求めると、 b=0とわかったのですが、a,cの求め方がよくわかりません。 そこの所を教えてください。よろしくお願いします。
- kamenoko01
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普通に積分すれば求まりますが… ∫[-1→1](ax^2+bx+c)dx=(途中略)2/3a+2c=1 ∫[-1→1](ax^4+bx^3+cx^2)dx=(途中略)2/5a+2/3c=1 これを連立させて、a=15/4,c=-3/4 積分区間が‐1→1ですから、被積分関数の次数が偶数なら[0→1]の2倍、奇数なら0となります。
その他の回答 (2)
おそらく∫[-1→1]xｆ(x)dx＝0しか解いていないので、a、cが求められないのだと思います。 a,b,cとわからない数が３つあるので、３つの式を作って連立方程式を立てなければなりません。 その３つの式は、∫[-1→1]ｆ(x)dx＝1、∫[-1→1]xｆ(x)dx＝0、∫[-1→1]x^2ｆ(x)dx＝1を解けば出て来ます。
- lick6
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定積分の範囲が[-1→1]なので偶関数、奇関数に着目すると計算が少なくてすみます。 基本的に (定数), x^2, x^4 は偶関数、 x, x^3 は奇関数ですので x の偶数乗もののみ考えます。 一つ目の条件から 2 * (1/3 * a + c) = 1 二つ目の条件から 2 * 1/3 * b = 0 三つ目の条件から 2 * (1/5 * a + 1/3 * c) = 1 b = 0 はでているので一つ目の条件と三つ目の条件を連立して解けばa,cも求まります。
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