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数IIの教科書の恒等式の問題

  • 質問No.7768318
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お礼率 50% (10/20)

等式 ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c' がxについての恒等式であるための必要十分条件は、
a=a' b=b' c=c' であることを示せ。

という問題なのですが、答えがついてなく、独学なので、すみませんが教えてください><

回答 (全12件)

  • 回答No.12

ベストアンサー率 44% (2109/4758)

むしろ、A No.1 の書きかたのほうが、
簡潔で話のスジが見えやすいと思うがなあ…
A No.5 でも、内容は同じではあるが。
  • 回答No.11

ベストアンサー率 58% (416/707)

ANo.1です.タイプミスがありました.申し訳ありません.

>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c' がxについての恒等式
>⇔(a-a')x^2+(b-b')x+(c-c')=0ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c' がxについての恒等式
>だから

この2行目の「ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c' 」は削除して下さい.消し忘れでした.

ANo.5でもわかりにくかったですかね.それではもう一度試みます.

(☆)ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'がxについての恒等式(どんなxに対しても成り立つのが恒等式)

であるための必要十分条件は

(★)a=a',b=b',c=c'

である.

(証)

(必要性)「☆ならば★である」を示します.

☆が成り立つから,

※ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'

は,例えばx=0,1,-1でも成り立つはずです.(恒等式の意味.どんなxでも成り立つなら,x=0,1,-1でも成り立つはず)

x=0とすると※はa0^2+b0+c=a'0^2+b'0+c'

c=c'(i)

よって※は

※2 ax^2+bx=a'x^2+b'x

となります.次にx=1とすると※2は

(1)a+b=a'+b'

さらにx=-1とすると※2は

(2)a-b=a'-b'

(1)+(2)より2a=2a'

∴a=a'(ii)

(1)-(2)より2b=2b'

∴b=b'(iii)

(i),(ii),(iii)より★が成り立ちます.

(十分性)「★ならば☆である」を示します.

★が成り立つならば☆は

ax^2+bx+c=ax^2+bx+cがxについての恒等式

は明らかに正しいです.(左右が全く同じ式だから)

こうして,

『等式 ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c' がxについての恒等式であるための必要十分条件は、
a=a' b=b' c=c' である』

が証明されました.(終)

これでどうでしょう.
お礼コメント
studentist

お礼率 50% (10/20)

返信遅くなってしまいました…
とってもわかりやすかったです!
ありがとうございました。
投稿日時:2012/11/06 18:56
  • 回答No.10

ベストアンサー率 43% (719/1651)

テスト答案向けの場合、分野不明の場合など、筋書きの選択が困難ですね。
「テスト」でさえなければ、「n 次 (以下) の x - 多項式は n 次元ベクトル空間」と書き出して、サッサと片付くのでしょうが…。

「数II」はよく知りません。
けど、#5 さんの記述が適切なのでは?

   
  • 回答No.9

ベストアンサー率 44% (2109/4758)

確かに、p,q,r を m,n,k に変えたところが違うな。
  • 回答No.8

ベストアンサー率 41% (502/1210)

#7は馬鹿としか言いようがない。

お前は、発言するな。自分で解けないくせに、アホな評論ばかり、どこの3流大学の出身だ。。。。。w
補足コメント
studentist

お礼率 50% (10/20)

私にはシマウマに見えます
投稿日時:2012/10/28 23:25
  • 回答No.7

ベストアンサー率 44% (2109/4758)

結局、A No.6 は、A No.1 と全く同じに見える。
  • 回答No.6

ベストアンサー率 41% (502/1210)

係数比較法でも良いが、数値代入法でやろう。

全て、左辺に集める。
(a-a´)x^2+(b-b´)x+(c-c´)=0 となるが 簡単のため a-a´=m、b-b´=n、c-c´=kとする。
その上で mx^2+nx+k=0が xについての恒等式であるための必要十分条件は m=n=k=0 であることを示す。

mx^2+nx+k=0が任意の実数xについて成立するからx=0、1、-1 についても成立する。
従って、k=m+n+k=m-n+k=0 だから 連立すると m=n=k=0。← これが必要条件。
しかし、これは高々3つの値に対して成立したに過ぎない。
全ての実数xについて成立する事を示さなければならない。
ところが、mx^2+nx+k=0 において m=n=k=0ならば 0+0+0=0 だから 全ての実数xについて常に0になる。
従って、十分条件でもある事が示された。

よって、題意を満たすのは m=n=k=0 つまり a=a' b=b' c=c' が必要十分条件である。
お礼コメント
studentist

お礼率 50% (10/20)

ありがとうございます!
初心者なのでわかりやすくて助かります!
投稿日時:2012/10/28 22:59
  • 回答No.5

ベストアンサー率 58% (416/707)

不十分な回答と指摘されたのでもう一度回答します.後半部分です.

『px^2+qx+r=0がxについての恒等式⇔p=q=r=0』

(証明)
(←)

・p=q=r=0

ならばpx^2+qx+r=0は

0x^2+0x+0=0

となる.これはどんなxについても成り立つから,

・px^2+qx+r=0はxの恒等式.

(→)

・px^2+qx+r=0がxの恒等式

ならば,特にx=0,±1としても成り立つはずである.

x=0とするとr=0
x=1とするとp+q+r=0
x=-1とするとp-q+r=0

第1式を第2,3式に代入して

p+q=0
p-q=0

よってp=q=0.

・p=q=r=0

(終)
補足コメント
studentist

お礼率 50% (10/20)

何度も失礼します 

『px^2+qx+r=0がxについての恒等式⇔p=q=r=0』
で、
どうして0をもってくるんですか?
投稿日時:2012/10/28 23:20
  • 回答No.4

ベストアンサー率 41% (502/1210)

> (←)明らかって書いてあるようだよ。

仮に明らかでも、答案には書かなければならない事がある。特に“初心者”には 丁寧に教えなければならない。
答案は、採点者が字面から判断するもの、誤解されるような事は慎むべき。
  • 回答No.3

ベストアンサー率 44% (2109/4758)

> (←)明らか
って書いてあるようだよ。
実際、∀x,0x^2+0x+0=0 は自明だと思う。
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