定積分(お手上げです；)

質問

∫(0→a)1/{cosx*cos(a-x)}dx
ですが積和の公式を使い解こうとしたのですがcos(2x-a)という形がでたりと行き詰まります。
どうにか積分できる形にする方法を教えて頂けませんか?

回答No.2

noname#56760 · ベストアンサー

∫○△ｄｘの式ですから、ｘで積分します。
cosaにはｘが含まれていませんから定数として扱います。
∫(cosa)ｄｘ＝(cosa)ｘ＋Ｃ

お礼

ありがとうございます。
ちなみに1/{cosa+cos(2x-a)}といった分数になったときはどうすればいいんでしょうか？質問を重ねてすみません；

回答No.7

noname#56760

=(1/sina)[log|cosa+(sina)t|](0→tana)
誤=(1/sina)[log|cosa|]-(1/sina)[log|cosa+(sina)(tana)|]
逆になってました
=(1/sina)[log|cosa+(sina)t|](0→tana)
正=(1/sina)[log|cosa+(sina)(tana)|]-(1/sina)[log|cosa|]
続き=(1/sina)[log|cosa+(sina)(sina/cosa)|]-(1/sina)[log|cosa|]
=(1/sina)[log|cosa+{1-(cosa)^2}/cosa|]-(1/sina)[log|cosa|]
=(1/sina)[log|cosa+(1/cosa)-cosa|]-(1/sina)[log|cosa|]
=(1/sina)[log|(1/cosa)|]-(1/sina)[log|cosa|]
=-(1/sina)[log|cosa|]-(1/sina)[log|cosa|]
=-2/sina[log(cosa)]

sinatanaを計算するだけです。

回答No.6

noname#56760

解答まで行きます。
∫(0→a)1/{cosx*cos(a-x)}dx
=∫(0→a){1/(cosx)^2}/{cosa+(sina)(tanx)}dx
tanx=tとおくとdt/dx=1/(cosx)^2よりdt={1/(cosx)^2}dx
x;0→a
t;0→tanaより
=∫(0→tana)1/{cosa+(sina)t}dt
=(1/sina)[log|cosa+(sina)t|](0→tana)
=(1/sina)[log|cosa|]-(1/sina)[log|cosa+(sina)(tana)|]

お礼

ここまでして下さって本当にありがとうございます。
その…本当に失礼なんですが
耐え切れず答えだけ確認したら-2/sina[log(cosa)]
ってなってたんです。0<a<π/2となっていたので多分発散してしまうなどの関係ではと思うんですが…どうなんでしょうか？

回答No.5

T-gamma

d-l_-bさんの方がスマートですね。私の方は無視してくださって結構です。置換を２～３回繰り返すので、かなり効率の悪い解法です。

回答No.4

noname#56760

すみません。分数になっているのを見落としていました。
cos(a-x)＝cosacosx+sinasinxより
1/cosxcos(a-x)＝1/(cosacosxcosx+sinasinxcosx)
={1/(cosx)^2}/{cosa+(sina)(tanx)}
tanx=tとおくとdt/dx=1/(cosx)^2より
t'/(○+△ｔ）の積分へ持ち込めます。

回答No.3

T-gamma

すみません！分数の形になっていることに全く気付いていませんでした。確かにこれはかなり面倒だと思います。
とりあえず考えてみました。
積和によって
1/{cosa+cos(2x-a)}＝1/{cosa+cosθ}という形は出てきますよね（θに置換しました）。ここで、前回の質問でrabbit_catさんが回答されたように
Ｘ=tan(θ/2)とおくと
ｄθ＝2dx/(x^2+1)、cosθ＝(1-x^2)/(1+x^2)
となり、後は整理していくと
1/(AX^2+B)という形になります。次に(A/B)X=tanαと置換すれば積分出きると思います。
即興で考えたので、間違っているかもしれません。

回答No.1

T-gamma

cos(2x-a)の積分は簡単です。
まず、2x-a=θと置換しても解けます。
また、sin(2x-a)をxで微分すると、
{sin(2x-a)}’＝2cos(2x-a)です。したがって、
∫cos(2x-a)dx=(1/2)sin(2x-a)+Cとなります。
基本的に()の中が一次式であるかぎり、簡単に解けます。

お礼

回答(解答？)ありがとうございます。
ただcos(2x-a)の積分は分かったのですが
∫(0→a)1/{cosa+cos(2x-a)}dx　という形になるんです；
これを積分できるようにするにはどうしたら良いでしょうか?
再問スンマセン；