積分の変形について
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積分の変形について
∫[0～π/4]x/(sin2x+2(cosx)^2) dx =∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx = (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx +(1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx = (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx …………(1) +(1/2)∫[π/4～0](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) (-dt) （t=π/4-xとおいた） = (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx +(1/2)∫[0～π/4](π/4-x)/(sin2x+cos2x+1) dx …………(2) = (π/8)∫[0～π/4]1/(sin2x+cos2x+1) dx … (※) = (π/8)[log(tanx+1)/2][0～π/4] = πlog2/16 (1) から (2) の変形について教えてください。 t = π/4 - x とおけば x = π/4-t x = 0 → t = π/4, x = π/4 → t = 0. dt = -dx なので (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx = -(1/2)∫[π/4～0](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) dt = (1/2)∫[0～π/4](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) dt まではわかるのですが、これを x に戻すのであれば -(1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx になるのではないですか。 なぜ (1/2)∫[0～π/4](π/4-x)/(sin2x+cos2x+1) dx と変形できるのでしょうか。
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xに戻すのではありません (ほんとうに戻すのであれば符号もなにも変わりません) (なんのためにxからtへ置換したのか意味がありません) 変数名tは∫の次からdtまでの間だけに有効な局所変数なので a～z等どのような変数名にも置き換えることができるので tをxに置き換えるのです(t=x) (1/2)∫[0～π/4]x/(sin(2x)+cos(2x)+1)dx =(1/2)∫[0～π/4](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1)dt ↓sin(π/2-2t)=cos(2t) ↓cos(π/2-2t)=sin(2t)だから =(1/2)∫[0～π/4](π/4-t)/(cos(2t)+sin(2t)+1)dt ↓tをxに置き換えると =(1/2)∫[0～π/4](π/4-x)/(cos(2x)+sin(2x)+1)dx
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お礼
懇切丁寧な回答まことにありがとうございました。