三角不等式の問題なんですけど

質問

0度＜x<180度　の時、次の三角不等式を解け
2tanx > √3/cosx ただしx≠90度

こんな問題が参考書にあって、模範解答ではtanをsin/cosに変えて計算してたんですけど、これってcosをtanに変えても計算できないのでしょうか？

まず、両辺を二乗して・・
=(2tanx)^2 > (√3/cosx)^2
ここで公式tan^2+1=1/cos^2を利用して上の式のcos^2をtan^2に変えて計算すると・・
=4tanx^2 > 3(tanx^2+1)
=4tanx^2 > 3tanx^2+3
=tanx^2-3 > 0
(tanx-√3)(tanx+√3) > 0
これより、tanx<-√3　tanx>√3
なので、答えは 60<x<90, もしくは 90<x<120

だと思ったんですけど、参考書の答えは違います。上のやり方は間違いなのでしょうか？

回答No.1

proto · ベストアンサー

両辺を二乗しても両辺の大小関係は保たれますか？
例えば
　　2 > -3
の両辺を二乗して
　　4 > 9
が成り立ちますか？

不等式で両辺を二乗していいのは以下の場合に限ります。
(1)両辺とも正の場合、a>0,b>0として
　　a > b > 0 ⇔ a^2 > b^2
(2)両辺とも負の場合、a<0,b<0として
　　0 > a > b ⇔ a^2 < b^2

今回の場合、両辺とも正にも負にもなり得ますから、両辺を二乗したい場合には場合分けが必要です。

お礼

なるほどおおおおおおおおお！！！

ありがとうございました