三角関数について教えてください。

質問

すみません、三角関数についてほぼ初心者なので、できるだけわかりやすく、途中を端折らないで教えて下さい。よろしくお願いいたします。

（１）次の式が成り立つとき、αとβの間の関係を求めよ。

(1)sinα=sinβ
(2)cosα=cosβ
(3)tanα=tanβ

（２）cosx+cos2x+cos3x=0

回答No.4

noname#185706 · ベストアンサー

（１）αを A、βを B と書き、
0°<= A <= B < 360°
とします。

(1) A = B。
あるいは、A が第一象限、B が第二象限にあって
90°- A = B - 90°。
つまり
A + B = 180°。
あるいは、A が第三象限、B が第四象限にあって
270°- A = B - 270°。
つまり
A + B = 540°。

(2) A = B。
あるいは、A が第一象限、B が第四象限にあって
A - 0°= 360°- B。
つまり
A + B = 360°。
あるいは、A が第二象限、B が第三象限にあって
180°- A = B - 180°。
つまり
A + B = 360°。
これは直前の結果と同じです。

(3) A = B。
あるいは、A が第一象限、B が第三象限にあって
B = A + 180°。
あるいは、A が第二象限、B が第四象限にあって
B = A + 180°。
これは直前の結果と同じです。

（２） 0°<= x < 360°とします。
cos(2x) = cos(x+x)
　　　　= cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x)　
　　　　= (cos(x))^2 - (sin(x))^2
　　　　= 2(cos(x))^2 - 1。（公式です）

cos(3x) = cos(x+2x)
　　　　= cos(x)cos(2x) - sin(x)sin(2x)
　　　　= cos(x)[2{cos(x)}^2 - 1] - sin(x)・2sin(x)cos(x)
　　　　= 2{cos(x)}^3 - cos(x) - 2{sin(x)}^2cos(x)
　　　　= 2{cos(x)}^3 - cos(x) - 2[1-{cos(x)}^2]cos(x)
　　　　= 2{cos(x)}^3 - cos(x) - 2cos(x) + 2{cos(x)}^3
　　　　= 4{cos(x)}^3 - 3cos(x)。　（公式です）

cos(x) = y とおくと、
cos(2x) = 2y^2 - 1、
cos(3x) = 4y^3 - 3y。

よって与式は
y + (2y^2 - 1) + (4y^3 - 3y) = 0。
整理すると
0 = 4y^3 + 2y^2 - 2y - 1
　= 2y^2(2y + 1) - (2y + 1)
　= (2y + 1)(2y^2 - 1)。

よって、
2y + 1 = 0　(1)
または
2y^2 - 1 = 0。　(2)

(1)より
y = -1/2。
これから
x = 120°、240°。　(3)

(2)より
y^2 = 1/2。
よって
y = ±1/√2。
これから
x = 45°、135°、225°、315°。　(4)

(3)、(4)より、
x = 45°、120°、135°、225°、240°、315°。

角度の単位をラジアンにすると、
x = π/4、2π/3、3π/4、5π/4、4π/3、7π/4。

お礼

御礼が遅くなりまして申し訳ありません。
ご回答ありがとうございました。

回答No.6

noname#171582

(1)sinα=sinβ

α＝a、β＝ｂとする。

それらを第一象限、第二象限とするとき
a＝１８０°ーｂが成り立つ。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

御礼が遅くなりまして申し訳ありません。
ご回答ありがとうございました。

回答No.5

hugen

(2)cosα=cosβ
cosα-cosβ=0
-2sin(α+β)/2*sin(α-β)/2=0
(α+β)/2=nπ、(α-β)/2＝nπ
α+β=2nπ , α-β＝2nπ
α=2nπ±β

お礼

御礼が遅くなりまして申し訳ありません。
ご回答ありがとうございました。

回答No.3

gohtraw

ここが判りやすいと思います。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/sankakukansuu/keisan-no-kiso.html

お礼

御礼が遅くなりまして申し訳ありません。
リンク、ありがとうございました。

回答No.2

info22_

>できるだけわかりやすく、途中を端折らないで教えて下さい。

(1)
基礎的なことなので、途中はありません。
高校の教科書を復習ください。
単位円の概念を理解することが基礎となりますので教科書や参考書でそこを集中的に勉強してください。
単位円参考URL
http://www.cfv21.com/math/triagfunc2.htm
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/houteisiki-tokikata/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/houteisiki-tokikata/sin-tokikata.html
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6238&PHPSESSID=qf1pa52lc3j3koihbhjg34fsl4

以上を理解すれば
(1)
sinα=sinβ
単位円を描いて理解してください。
α=β±2nπ　または　α=π-β±2nπ
（n=0,1,2,3, ...）

(2)
cosα=cosβ
単位円を描いて理解してください。
α=β±2nπ　または　α+β=±2nπ
（n=0,1,2,3, ...）

(3)
tanα=tanβ
単位円を描いて理解してください。
α=β±nπ （n=0,1,2,3, ...）

（２）
cosx+cos2x+cos3x=0
グラフを描いて考えて下さい。
ｙ＝左辺　は周期２πの関数で
y軸対称、y=±π軸対称
であることを考えてグラフ的に解きます。
x=(±(2m+1)π/4)±2nπ ,±(π/6)±(2n+1)π
(n=0,1,2,3, ... ;m=0,1,2,3)

お礼

御礼が遅くなりまして申し訳ありません。
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

debukuro

１，２，３，
α＝β
理由は分かるでしょ？

２，ｘ＝９０°
ｘのある象限と余弦の符号の関係を考えて下さい

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

答えは、α＝βみたいな簡単な答えではありません。それならば誰でもわかると思うので、質問なんてしないんですが・・・